Monday, December 4, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 1ο]

Αγαπητό μου Ημερολόγιο,

μου βγήκε η ψυχή με τούτες τις Τομές Dedekind, κι όμως - για κάποιο μυστηριώδη λόγο - αντιστάθηκα πεισματικά στην παραδοχή της παντελούς ηλιθιότητας. Κατά βάθος, μπορεί και να 'χω πειστεί. Ωστόσο, πάνω στα ψυχορραγήματα κάποιας στοιχειώδους αξιοπρέπειας, επιμένω να διατηρώ στερνές επιφυλάξεις. Μη φανταστείς τίποτα ελπίδες λανθάνουσας ευφυίας, αλλά ότι, να, δηλαδή, ο γράφων πρόκειται μόνο περί απλού ηλιθίου και όχι από τους άλλους, τους σούπερ, με τα υψηλά οκτάνια και την περικεφαλαία.

Θυμάσαι, τώρα, εκείνο το βιβλίο του Louis Brand, από τα παλιά; Ναι μπράβο! Καλά θυμάσαι. Εκείνο που μας μοιράζαν τότε, όταν ακόμα χρωστούσαμε διψήφιους αριθμούς μαθημάτων. Τότε, που στα κεφάλια μας η βούρτσα έβρισκε ακόμα αντίσταση κι ο έρωτας ήταν γυμνωμένο στήθος κι άβυσσος υποσχέσεων, παρά διδακτορικό φιλοσοφίας και χρυσομπαλωμένη πανοπλία. Θα θυμάσαι, φαντάζομαι, πως το ξανάπιασα πέρσι, βάζοντας σκοπό να το κατεβάσω μονορούφι. Το μόνο που κατάφερα τελικά - όντας φλωράκος και αμαθής - ήταν να ζαλιστώ απ' την ξαφνική μαθηματική καθαρότητα και να παραπατώ, από τις πρώτες κιόλας σελίδες. Παρα-συνηθίσαμε, μου φαίνεται, στα σχολικά βιβλία και στην υπερ-απλούστευση των βοηθημάτων κι ο εγκέφαλος αποκοιμήθηκε, σε κάποιο πεζοδρόμιο της πεπατημένης. Κι όμως, λίγο πριν εμέσσω κάθε μαθηματική αξιοπρέπεια από τα σωθικά μου, κατέφτασε από μηχανής θεά μια κάποια γλυκόπικρη αναλαμπή, ένα αμήχανο μεθύσι, όταν ξάφνου συνειδητοποίησα τη θαυμάσια ευφυή απλότητα (;), της αξιωματικής θεμελίωσης των Πραγματικών. Κάτσε να σου τα μιλήσω λίγο, να τα βάλω κι εγώ σε κάποια τάξη.

Πάμε πάλι, απ' την αρχή.

Αγαπητό μου Ημερολόγιο,

σήμερα θα σου μιλήσω για τους Πραγματικούς αριθμούς - μεγάλη η χάρη τους! Όταν μιλάς για τούτους στα παιδιά του Γυμνασίου, συνήθως τονίζεις την ιεαρχική δομή των διαδοχικών συνόλων, από τους Φυσικούς μέχρι τέρμα τα πι και ρίζα δύο, με την ελπίδα του ευκολομνημόνευτου. Ξέρεις, μήπως κάτι σκαλώσει στο πίσω μέρος του κρανίου και δεν αποβληθεί με το πρώτο λάλημα του κώδωνος, πακέτο κι αχταρμάς, μαζί με κάθε άλλη σαβούρα παλεύουν να παστώσουν οι ενήλικοι στους εφηβικούς εγκεφάλους. Ναι, ναι, σαβούρα και μην ξυνίζεις, καλό μου Ημερολόγιο, με τις ηθικές και τα καθωσπρέπει. Και το καθαρότερο μάλαμα, άμα στο φορτώνουν με το στανιό και με το βούρδουλα, σαβούρα γίνεται. Άμα σου παραχώσουνε στη μύτη αμβροσία, θα την ξεράσεις μαζί με τις μπάμιες που έφαγες το μεσημέρι.

Τώρα, μη φανταστείς πως κι η ιδία αντίληψη, περί Πραγματικών, διέφερε ριζοσπαστικά απ' την απλοϊκότητα της παράδοσης. Πιάνεις, το λοιπόν, τους Φυσικούς, και τους αραδιάζεις απλόχερα στα προτεταμένα σου δάχτυλα: και ένα, και δύο, και τρία, και τα λοιπά. Τα παιδιά το πιάνουν ως υπονοούμενο αντεστραμμένης μούτζας. Άλλα χασκογελούν, άλλα χασμουριούνται. Λες κάτι για γίδια, κάτι για πρόβατα, τρία είναι καλά, αλλά τριάμιση δε θα βρεις στη Φύση - κάτι που είναι ψέμα, καθώς μεγαλωμένοι ως βέροι αστοί δεν έχουμε δει ποτέ σε στροφή της Πανεπιστημίου μισοφαγωμένο κατσίκι, θέαμα απολύτως φυσικό, άμα το χωριό σου περιτριγυρίζεται από πεινασμένους λύκους. Κι όχι μόνο μισό, αλλά και 1/4 και 3/29 και όποια κλασματική απόσταξη κατσικίσιας σάρκας επιθυμείς. Αλλά φυσικό για τον άνθρωπο είναι, βεβαίως, εκείνο που στέκει ακέραιο, με τρόπο που να 'χει αξία για τον άνθρωπο κι όχι ντε και καλά για τη Φύση. Ν' ανταλλάξεις μισό κατσίκι, όσο να 'ναι κι αν δεν είσαι χασάπης, δεν είναι κι ό,τι πιο εύλογο. Πάντως, για να λέμε και την αλήθεια, μισό κατσίκι δεν είναι και τίποτα πράμα λειτουργικό: δε βελάζει, δε πηδάει στα βραχάκια, δεν τρώει, ούτε χέζει, δε λύνει δευτεροβάθμιες εξισώσεις, γενικά δεν κάνει και πολλά πράγματα. Κι έτσι, στην τελική, απ' τη στάνη σου θα μετράς πλην ένα κατσίκι.

Να λοιπόν που αρκεί ένας χορτάτος λύκος, ώστε να περάσεις γλυκά-γλυκά στους Ακεραίους. Μιλάς γι' απώλειες, για χρέη, για πολικές θερμοκρασίες και για την αιώνια διαμάχη του ζερβού με το δεξί. Κανένα πρόβλημα. Άμα δεν πιάσεις τους φορμαλισμούς με τους κανόνες των πράξεων, τα ομόσημα και τα ετερόσημα βραχυκυκλώματα, τα παιδιά τα χωνεύουν και τα καταλαβαίνουν μια χαρά, όλα ετούτα. Κι έτσι, η «αναγκαιότητα» των Αρνητικών έρχεται και κάθεται μια χαρά, το ίδιο φυσικά, όπως και η «αναγκαιότητα» των Θετικών. Τα βάνεις, λοιπόν, όλα μαζί σ' ένα τσουβάλι, γράφεις κι ένα μεγάλο ℤ, περάστε, σκουπίστε, τελειώσατε.

Μα ούτε και το επόμενο βήμα, φαντάζει εξωπραγματικό, ένεκα που το 'χουν προετοιμάσει οι συνάδερφοί μας οι δασκάλοι (εννοώ και οι δασκάλες), θυσιάζοντας τα δικά τους νεύρα, νωρίτερα από μας, στο βωμό της μαζικής εκπαίδευσης. Τα περισσότερα παιδιά είναι ήδη εξοικειωμένα με την έννοια των κλασμάτων, δόξα να 'χει κι ο εφευρέτης της πρώτης πίτσας. Γνωρίζουν ακόμα-ακόμα κι εκείνους τους ξινούς δεκαδικούς, με την προϋπόθεση ωστόσο να μην τα χρεώσεις τίποτε πράξεις και χάσουν τ' αυγά και τα πασχάλια με τα βοηθητικά μηδενικά. Οπότε, με αυτά κατά νου, η πιο σημαντική ενέργεια, στη φάση ετούτη, είναι να καταδείξει κανείς την αντιστοιχία μεταξύ κλασμάτων και πεπερασμένων ή περιοδικών δεκαδικών και να κλείσει, γλυκά κι αθόρυβα, ετούτο το κεφάλαιο. Άμα τα βλέμματα, τριγύρω, δεν είναι χαμένα στην υπερκόπωση της ανίας και στα προσωπικά, μπορείς ν' ανοίξεις όμορφες συζητήσεις γύρω απ' τη σημασία της λέξης «ρητός» ή «άρρητος» ή να ξεδιπλώσεις εκείνη τη χαριτωμένη αλγεβρική απόδειξη, με την οποία - σχεδόν μαγικά - επιτυγχάνεται η μετατροπή ενός περιοδικού σε λόγο φυσικών. Αν δεν πέσεις, δηλαδή, σε τυχόντα συνάδερφο ρομπότ, ο οποίος επιμένει σ' εκείνα τα σατανιστικά τρικ, όπου πέρνεις την περίοδο και φτιάνεις κλάσματα, μηχανικά, με τόσα εννιάρια εδώ, τόσα ψηφία εκεί, κόλπα δηλαδή στα οποία μπορείς να εκπαιδεύσεις ακόμα κι ένα χιμπαντζή και δεν έχουν την παραμικρή σχέση με τη μαθηματική διαδικασία και ανακάλυψη.

Έχουμε πια φτάσει, στο τελευταίο κατώφλι των Αρρήτων, όπου ο τυπικός μαθηματικός-παύλα-καθηγητής μπορεί να πιάσει να μιλά για ώρες, δίχως να υποψιαστεί ότι οι ακροατές του έχουν αυτοκτονήσει, κάπου στα μισά της διάλεξης. Εδώ, τούτος ο μέσος καθηγητής, νιώθει όχι μόνο πιο οικεία, καθώς πλησιάζει σιμά σε πιο σύγχρονά του μαθηματικά χωράφια, αλλά νιώθει κι ένα ιστορικό χρέος: πώς να μιλήσει κανείς για τους Άρρητους, δίχως να κάνει μνεία για τούτη την πρώτη επανάσταση της νόησης, που ξεκινά απ' την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος και διαμέσου της λατρείας των Φυσικών-Σύμμετρων καταλήγει στο θρίαμβο της Λογικής επί της Πίστης! Πώς να προχωρήσεις, δίχως μια ελάχιστη ανάσα δέους - όχι για τον υπερφίαλο Πυθαγόρα και το μυστικιστικό του καλάμι, παντελώς ξένο με την Ιωνική διαύγεια και ειλικρίνεια - αλλά για το πέρασμα του ανθρώπινου πολιτισμού από το χιμπαντζή και τον ουρακοτάγκο στον αληθινό Άνθρωπο! Και πώς να μη στοχαστείς πάνω στην τραγικότητα μιας κοσμοθεωρίας, που στέκεται ξαφνικά να κοιτά κατάματα την άβυσσο και τον ίδιο το χαμό της; Η λιτότητα της Ευκλείδειας (?) απόδειξης, για τη μη ρητότητα της τετραγωνική ρίζας του δύο, δανείζεται κάτι απ' το ματοβαμμένο θάμπος ενός δωρικού ξίφους. Χαμογελούμε, θαρρώ, διηγούμενοι με μια εσάνς ανεκδότου τον - φημολογούμενο - άδικο χαμό του Ίππασου του Μεταποντίνου, μ' ασυνείδητα μένουμε αμήχανοι, μπροστά σε τούτη τη μικρή τραγωδία. Οι φιλοσοφίες θαρρώ - κι ίσως να κάνω λάθος - σπάνια πεθαίνουν ή ανατρέπονται εν μία νυκτί, παρά σβήνουν κάποτε περιθωριακά και αθόρυβα, μαζί με τις κοινωνίες που τις γέννησαν και τους στερνούς οπαδούς τους. Κι όμως οι Πυθαγόρειοι ένιωσαν το μαχαίρι του φονιά και του θανάτου, όχι στο κατόπι της δόξας τους, μα ακριβώς εξαιτίας της, ακριβώς εξαιτίας της πνευματικής ισχύος που είχαν κατακτήσει. Το θεριό που ξαμόλυσαν μέσα στους νόες, να κυκλοφορεί λέφτερο κι ακόρεστο - γι' άλλους το ήθος της τεκμηρίωσης και γι' άλλους η επανάσταση των αρρήτων - τους ξεπερνούσε, όσο η πυρηνική ενέργεια ξεπερνά τον Τρικεράτοπα. Δεν είχαν καμία ελπίδα! Ή μήπως όχι;

Όλα ετούτα συγκινούν πολύ το μέσο  μαθηματικό νου και του αρέσει πολύ να τ' αναστοχάζεται και να τα παραθέτει στους συνομιλητές του, με τον ίδιο ζήλο που ένα παιδί μιλά για τα παιχνίδια του. Στην τάξη, παρ' όλα αυτά, άλλοτε η πίεση του χρόνου κι άλλοτε η έλλειψη ανατροφοδότησης απ' τα θρανία περιορίζει το ζήλο στο ελάχιστο. Μια αναφορά στις άρρητες ρίζες, στο πι και φι, ως απειρομήκεις δεκαδικούς δίχως επαναλήψεις, κι ούτε κουβέντα να γίνεται περί διάκρισης αλγεβρικών και υπερβατικών. Πρέπει να λύσουμε και καμιά άσκηση!

Ημερολόγιο, στο σημείο αυτό, συμμαζεύω την πολυλογία μου με σκοπό να κλείσω, ετούτο το πρώτο μέρος. Ξεκινούμε λοιπόν μ' ένα τσουβάλι γεμάτο Φυσικούς: 1, 2, 3, ... , ένα-δυο σχόλια για τη διακριτική δύναμη του μηδενός, τα στραβώματα των μονών με τους ζυγούς και μια υπόκλιση στη δομική παντοκρατορία των Πρώτων αριθμών. Στο κατόπι, ζωγραφίζουμε ένα "μείον", μπροστά απ' τους Φυσικούς, τους βαφτίζουμε «Αρνητικούς Ακεραίους» και τους πετάμε κι αυτούς μες στο τσουβάλι. Συνεχίζουμε με τους Ρητούς, όλους δηλαδή τους αριθμούς που έχουν τη δυνατότητα να γραφτούν ως λόγος δύο ακεραίων, τονίζοντας τη συμμετρία τους ως προς τους πεπερασμένους και τους περιοδικούς δεκαδικούς. Τέλος, last but no least, που λέγαν κι οι Αρχαίοι, πετούμε μέσα όλη την αναρίθμητη απειρία των Αρρήτων, με τις ρίζες, τους υπερβατικούς και δε συμμαζεύεται. Το τσουβάλι μας κοντεύει να σκάσει. Με κάποιο ζόρι, καταφέρνουμε να φτιάξουμε κόμπο καλό κι απάνω, με μεγάλα γράμματα: «Πραγματικοί Αριθμοί». Χάριν απλότητας και συντομίας, παραλείπω εδώ οποιαδήποτε αναφορά σε άξονες και τα σχετικά κι ας γκρινιάζουν, όσο θέλουν οι Dedekind και Cantor.

Σε βλέπω όμως κι εσένα να στραβώνεις τα μούτρα, καλό μου Ημερολόγιο, με τούτο το... τσουβάλιασμα. Στην προσπάθεια να θυμίζουν τα σακιά μου σύνολα, έχασαν κάτι απ' την ιεραρχικότητά τους. Έχεις δίκιο, όμως ας είναι. Όταν απλουστεύεις και συχνά υπερ-απλουστεύεις, είναι σαν το σεντόνι του Χαλεπά: δε μπορείς να σκεπάσεις τα πάντα. Συχνά, στην τάξη δε συμπεριφέρεσαι ως πραγματικός Μαθηματικός, αλλά ως διεκπεραιωτής της σχολικής ύλης. Τα υπόλοιπα τ' ακούω βερεσέ, απ' τους ακάλεστους στη χοροεσπερίδα. Παρ' όλα αυτά, τα πράματα δεν είναι τόσο τραγικά, όσο ακούγονται, καθότι όλα τα προηγούμενα συνοδεύονται συνήθως απ' τα κατάλληλα μπαλονάκια του Venn - κάτι σαν το βόα του Saint-Exupery, που πάλευε να χωνέψει έναν ελέφαντα. Στο κάτω-κάτω, τα περισσότερα παιδιά δε θα θυμούνται παρά μόνο ένα καπέλο, έτσι όπως τα 'χουν φτιάξει οι κηδεμόνες σαν τα μούτρα τους. Στην τελική, δεν προσβάλλεται ιδιαίτερα η σουρεαλιστική εγκυρότητα, της εφηρμοσμένης διδακτικής.

Άιντε λοιπόν να δούμε, πού ακριβώς στεκόμαστε τώρα. Τα σκεφτήκαμε όλα, έτσι φαίνεται. Δεν υπάρχει αριθμός, που να 'μεινε παραπονεμένος κι ο καθένας βρήκε θέση κι ένα κονάκι, να κονέψει τη φαμίλια του. Κι όμως, παρά τα λεπτοδουλεμένα μας κόσκινα, παρά το γεγονός πως κάναμε καλό παζάρι, παρ' ότι καταφέραμε να συμμαζέψουμε στο τσουβάλι μας όλα τα δυνατά νούμερα, στα χείλη μας δε λέει να σκάσει σωστό χαμόγελο. Ο νους θα 'πρεπε να κοιμάται ήσυχος κι όμως, ένα απροσδιόριστο μυρμήγκιασμα, ένα διακριτικό φάλτσο στη συμφωνία των αριθμών, τον κρατά ξύπνιο κι ανήσυχο. Τις πταίει; Δεν έχεις ιδέα. Κάτι ξεχάσαμε ή μήπως κάτι δε βάλαμε στη σωστή του θέση; Δε μιλώ για τους μιγαδικούς, δε θα μιλήσουμε γι' αυτούς. Μιλώ για κάτι βαθύτερο, κάτι δομικότερο στο οικοδόμημα των Πραγματικών που φτιάξαμε.

Όμως, Ημερολόγιο, πήγε αργά κι ώρα να κλείσω. Μέρα και η επαύριο - για η επομένη της - και τα λέμε. Καλό σου βράδυ.

No comments :

Post a Comment