Wednesday, December 20, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 4ο]

Ημερολόγιο,

αποφάσισα να σπάσω την προηγούμενη ανάρτηση σε δύο μέρη, όπως κάνουν οι μοντέρνες κινηματογραφικές τριλογίες. Εκείνες, βεβαίως, το κάνουν για να κονομήσουν κανά φράγκο παραπάνω. Εγώ πάλι μήπως κονομήσω κάνα συγκροτημένο νόημα. Ας πιάσουμε το κουβάρι μας, ξανά, από εκεί που τ' αφήσαμε, μερικά kilo-bits νωρίτερα.

Ας υποθέσουμε, λοιπόν και σύμφωνα με τον καλό Ρίτσαρντ, ότι με κάποιον κανόνα μπορούμε να χωρίσουμε το σύνολο των Ρητών σε 2 Κλάσεις - να τις πούμε (α) και (Α), όπως κάνει ο Brand - τέτοιες ώστε να πληρούνται οι παρακάτω προϋποθέσεις:
  • Κάθε Ρητός ανήκει είτε στην (α), είτε στην (Α).
  • Καμία Κλάση δεν είναι κενή.
  • Κάθε στοιχείο της (α) είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο της (Α).
Τούτο εδώ, δεν είναι τόσο φοβερό, όσο ακούγεται εν πρώτοις. Άμα πιάσεις π.χ. τον 7 και σκεφτείς ότι όλοι οι Ρητοί είναι ή μικρότεροι του 7 ή μεγαλύτεροι-ίσοι, έχεις κάνει ακριβώς αυτό, για το οποίο μιλάμε. Ένας τέτοιος εξαντλητικός διαχωρισμός, λοιπόν, καλείται Τομή Dedekind (των Ρητών) και τον γράφουμε α|Α . Αν περιδιαβείς μια στάλλα στο διαδίκτυο, θα διαπιστώσεις ότι από άρθρο σε άρθρο ο ορισμός ετούτος εμφανίζεται σε διάφορες παραλλαγές, στην τελική φυσικά ισοδύναμες. Κάποιες αναλύσεις ήταν εξαιρετικά δείγματα ζυγισμένης έκτασης, περιγραφικής λιτότητας και ουσίας, κάποιες άλλες ωστόσο - αρκετές - ήταν απλά φτωχές, κακογραμμένες ή και τα δύο. Η δική μου, τουλάχιστον, δεν τσιγγουνεύεται τα λόγια. :D

Άμα κάτσουμε τώρα να καλοσκεφτούμε, πάνω στις Τομές του Ντέντε (το χαϊδευτικό του), υπάρχουν τρεις περιπτώσεις:

1η Περίπτωση

Η Κλάση (α) περιέχει έναν μεγαλύτερο Ρητό, να τον πούμε m . Τότε για κάθε αριθμό α∈(α) και για κάθε αριθμό Α∈(Α), θα είναι: α ≤ m , A > m

2η Περίπτωση

Η Κλάση (A) περιέχει έναν μικρότερο Ρητό, να τον πούμε M . Τότε, θα είναι: α < M , A ≥ M

3η Περίπτωση - Άτοπο

Η Κλάση (α) περιέχει έναν μεγαλύτερο Ρητό m κι η (Α) έναν μικρότερο M. Όμως, στην περίπτωση αυτή, ο Ρητός (m + M)/2 θα βρισκόταν ανάμεσα στους m και Μ και συνεπώς δε θ' άνηκε σε καμία από τις δύο Κλάσεις. Τούτο 'δω, όμως, είναι άτοπο, καθώς η Τομή εξ' ορισμού δεν αφήνει κανένα Ρητό εκτός.

Είναι φανερό, λοιπόν, από τα προηγούμενα, ότι κάθε Ρητός αριθμός αποτελεί ένα ξεκάθαρο σύνορο, μεταξύ δύο κλάσεων, είτε ως μεγαλύτερος στη μία, είτε ως μικρότερος στην άλλη. Συνεπώς κι αν, επιπλέον, θεωρήσουμε - δίχως βλάβη - κάθε Ρητό αριθμό, ως το μικρότερο στοιχείο της (Α) (αγνοώντας, δηλαδή, την πρώτη περίπτωση), τότε υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των Ρητών και των Τομών (της 2ης περίπτωσης), που παράγουν. Τι κάναμε δηλαδή εδώ; Ουσιαστικά, ορίσαμε τους Ρητούς, μ' έναν νέο τρόπο, ως Τομές Dedekind. Μπορούμε δηλαδή αντί για (π.χ.) 43, να λέμε 43 = α|Α , όπου (α) = {x∈ℚ: x < 43} και (Α) = {x∈ℚ: x ≥ 43}. Δεν περιμέναμε τίποτα λιγότερο, φυσικά, από τους Μαθηματικούς. Πέρνουν έναν απλό αριθμό κι άμπρα-κατάμπρα τον μεταμορφώνουν σε ύλη Πανελληνίων.

Στο σημείο αυτό έχουμε καταφέρει το μισό πρόβλημα: το σύνολο των Ρητών, που είχαμε ορίσει προηγουμένως, αποτελεί ειδική περίπτωση και άρα υποσύνολο του νέου μας συνόλου. Έτσι, εξασφαλίσαμε μια «προς τα πίσω» συμβατότητα.

4η Περίπτωση

Ας υποθέσουμε, τώρα, πως ούτε η Κλάση (α) περιέχει μεγαλύτερο αριθμό, ούτε η (Α) μικρότερο. Χαμός! Τούτο 'δω το γλιστερό πράμα, Ημερολόγιο, να, τούτο 'δω το αντιδραστικό στοιχείο που μόλις φτιάξαμε, αυτό είναι ο πρώτος μας Άρρητος. Είναι να πούμε ένα σύνολο, που 'χει μια σκοτεινιά στη μέση, μιαν άβυσσο, μαζί με την άβυσσο αυτή - ακριβώς, όπως η τρύπα του λουκουμά κάνει το λουκουμά λουκουμά, αλλιώς θά 'τανε κάτι άλλο. Το κλασικό παράδειγμα, που συναντώ όχι μόνο στον Brand αλλά και στο διαδίκτυο είναι το εξής:

Έστω ως κλάση (α) όλοι οι αρνητικοί Ρητοί, καθώς κι οι θετικοί εκείνοι των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο του 2 κι από την άλλη ως κλάση (Α) όλοι εκείνοι οι θετικοί Ρητοί, των οποίων το τετράγωνο είναι μεγαλύτερο του 2. Φυσικά, δεν υπάρχει Ρητός τέτοιος, ώστε το τετράγωνό του να είναι ίσο με 2 κι έτσι καμία από τις δύο κλάσεις δεν έχει μεγαλύτερο ή μικρότερο στοιχείο, στο άκρο που μας ενδιαφέρει. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε ως √2 την παραπάνω Τομή, δηλαδή: √2 = α|Α , όπου (α) = {x∈ℚ: x<0 ή x2 < 2} και (Α) = {x∈ℚ: x2 > 2} . Δεν ξέρω αν είναι εντελώς σωστό, αν διατύπωνα με τα πιο τετριμμένα, σχολικά μας σύμβολα, πως ένας άρρητος ορίζεται ως ακριβώς το Συμπλήρωμα του διαστήματος (−∞ , lim(x) όταν x2→2−)∪(lim(x) όταν x2→2+ , +∞), πάντα με x∈ℚ.

* * *   * * *   * * *

Τώρα κάπως να κλείσω, ετούτη τη μακροσκελή ανάπτυξη, που θα μπορούσε να 'ταν τριαντα-εφτά φορές μικρότερη. Τον αρχικό ενθουσιασμό μου τον εξάντλησα, διάχυτο μέσα στο κείμενο, κι έτσι δεν έχω μεγάλες κουβέντες, άλλες να εκθέσω. Θεμελιώσαμε το τιτάνιο οικοδόμημα των αριθμών και των πολύπλοκων αριθμητικών σχέσεων, μονάχα πάνω στην απλότητα των Φυσικών αριθμών κι αν αυτό δεν αρκεί, ώστε να προκαλέσει το θαυμασμό, τότε δεν ξέρω τι άλλο θα μπορούσε, τέτοιοι ξινομούρηδες που είσαστε. Περιττό να αναφέρω (το αναφέρω παρ' όλα αυτά) ότι με την ίδια φόρα, που ξεκινήσαμε, έτσι προχωρούμε και στους μιγαδικούς, ορίζοντάς τους ως ζεύγη Πραγματικών και τηρώντας την παραδοσιακή φόρμα ξελασπώματος. Για διάφορους λόγους ψυχολογικούς ωστόσο - εύκολο το 'χεις να 'σαι γεροντοκόρος; - δεν ήθελα καθόλου, ν' ασχοληθώ εδώ με μιγάδες. Δε γούσταρα ρε αδελφέ, ώχου!

Είναι τεράστιας σημασίας - ή έστω θα ήταν πριν από 2,5 χιλιάδες χρόνια - το γεγονός, πως είναι δυνατή μια αριθμητική σύλληψη, που δε χρειάζεται παρά τους Φυσικούς. Και πολλή-πολλή κουβέντα κι ευφυΐα, βεβαίως. Είναι μια έμμεση και απελπιστικά καθυστερημένη δικαίωση της Πυθαγόρειας διαίσθησης; Όπως το αντιλαμβάνομαι εγώ, πολύ πιθανόν. Το πρόβλημα, τελικά, δεν ήταν τόσο πρόβλημα εγκυρότητας, γύρω απ' την παντοκρατορία της Μονάδας, όσο η ιστορική, αποδεικτική ικανότητα της εποχής του Πυθαγόρα. Δυστυχώς ή (συχνότερα) ευτυχώς, τα Μαθηματικά - αλλά και κάθε επιστήμη - είναι γέννημα-θρέμμα του Πολιτισμού και όχι του ζωϊκού ενστίκτου. Προϋποθέτουν με άλλα λόγια μια Πόλη, δηλαδή μια κοινωνία, κι όχι την απομόνωση και τον εγωισμό, που σε στέλνουν αδιάβαστο πίσω στη σπηλιά και το φόβο. Έτσι και τα Μαθηματικά, γεννιούνται με την Κοινωνία, ενηλικιώνονται με την Κοινωνία και μαζί της ωριμάζουν ή πεθαίνουν. Οι Πυθαγόρειοι ήταν καταδικασμένοι, μόνο και μόνο, γιατί διήρκεσαν λιγότερο απ' το χρονικό διάστημα, που απαιτούσαν οι συνθήκες, ώστε να ξεπεραστεί η κρίση συνολικά, από την - ας την πούμε - συλλογική, ανθρώπινη συνείδηση. Σε μια δεύτερη σκέψη κι αυτοί οι ίδιοι οι θάνατοι των ιδεών έρχονται κάποτε, ως αναπόσπαστα συστατικά της ωρίμανσής τους: αυτό ακριβώς το πένθος τροφοδοτεί τους κληρονόμους, με τα αδιέξοδα μα και το πείσμα της δικαίωσης. Κάποτε - όχι πάντα - κάποιοι νεκροί τελικά ησυχάζουν.

Έχουν, τώρα, διατυπωθεί διάφορες ενστάσεις ως προς τις συλλήψεις του Dedekind και την επάρκειά τους. Χοροπηδώντας, ίδιο κρι-κρι, από βραχάκι γνώσης σε βραχάκι, έτσι, μέσα στο νου μας και συν τω χρόνω, παίρνει σχήμα το βουνό ολάκερο. Μόνο θραύσματα γνώσης συλλέγω, από 'δω κι από 'κει, σαν το ζητιάνο. Και με τις λιγοστές δυνάμεις αυτοσυγκέντρωσης, που απομένουν στο τέλος της ημέρας, παλεύω να αποκρυπτογραφήσω τη συνολική εικόνα. Έχει πολύ δρόμο μπροστά, ετούτο το πιθάρι των πραγματικών που ανοίξαμε και, φυσικά καλό μου Ημερολόγιο, θα επανέλθω. Η βιαστική χαρά εκείνη της πρώτης συνειδητοποίησης, όταν από πέρσι έψαχνα ευκαιρία να συγκεντρώσω αυτές τις σκέψεις, έχει αντικατασταθεί πια από μια συγκρατημένη επιφύλαξη.

* * *   * * *   * * *

Ημερολόγιο, κουράστηκα πια μ' ετούτη τη γραφή. Θα επανέλθω σχεδόν στα σίγουρα αύριο, όπως το συνηθίζω, να ρετουσάρω τα σημεία. Το κείμενο ωστόσο, συνολικά, ας παραμείνει αυτό που είναι. Άσε τις αναθεωρήσεις γι' αλλού και γι' άλλοτε. Είναι καλό να φαίνεται το σκαλοπάτι που πάτησες χθες κι αντιπροχθές, για πολλούς λόγους, μα ο σημαντικότερος: μην παρανοήσεις - από ανοησία ή έπαρση - πώς έφτασες εκεί, καταμεσίς στην άβυσσο... πετώντας. Και πιάσεις μετά να πετάξεις, ξανά. Να φιλάς το χάρτη με το θησαυρό σου αν θες να τόνε ξαναβρείς. Έτσι ακριβώς όπως κι οι γόμμες σέβονται τα σφάλματα, δίχως ποτέ να σβήνουν το ουσιαστικό: αυτές τις χαρακιές και τις μουτζούρες στο χειρόγραφο, την αδιαμφισβήτητη δηλαδή μαρτυρία του λάθους. Που δεν είναι λάθος καθαυτό, παρά η πληγή μιας μάχης. Μιας μάχης, που δίνεται πάνω στο χαρτί κι είναι κι ετούτη μάρτυρας μιας άλλης μάχης, του νου. Κι αυτή η αλληλουχία των μαχών σταματημό δεν έχει. Εκτός απ' αυτά τα μηχανήματα του Σατανά, με τα ντιζαϊνάτα πληκτρολόγια και τις ξεκούραστες οθόνες, όπου τα πάντα χάνονται ανεπιστρεπτί μ' ένα τυχαίο πάτημα, σαν να μην ύπηρξαν ποτέ. Το τυπωμένο κείμενο φαίνεται σαν νά 'ταν πάντα τέτοιο. Πύρρειος νίκη γι' αυτόν που γράφει, μ' ακόμα-ακόμα και γι' αυτόν που το διαβάζει.

Λοιπόν, Ημερολόγιο, άμα περίμενα από σένα να με σταματήσεις, θα πιάναμε Παρασκευή κι ακόμη θα 'γραφα. Σε κλείνω, κάπου εδώ, με την υπόσχεση να τα ξαναπούμε σύντομα. Ετούτο το κουτί του Dedekind, που ανοίξαμε, άφησε να ξεχυθούν λεύτερες όλου του κόσμου οι άγνοιες και οι απορίες, σαν άλλη Πανδώρα. Άιντε καληνύχτα, καλέ φιλαράκο! Τα ξαναλέμε, σύντομα.

No comments :

Post a Comment