Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 3ο]

Αγαπητό Ημερολόγιο,

ένας κάποτε καλός φίλος - στα τελευταία του, όταν δηλαδή δεν ήταν πια καλός - με είχε κατηγορήσει για φλυαρία, μη συνάδουσα με τη μαθηματική ιδιότητα. Είχε απόλυτο δίκιο. Αν και φυσικά μπέρδευε τα Μαθηματικά με τους Μαθηματικούς, καθώς οι τελευταίοι - ως άνθρωποι - υπόκεινται σε όλα τα συνηθισμένα ανθρώπινα ελαττώματα. Κι εγώ, τότε, δεν του μιλούσα βεβαίως ως Μαθηματικός, παρά ως φίλος. Όπως μιλώ και σε σένα τώρα, Ημερολόγιο. Αλλά κοίτα να δεις που φλυαρώ, για να δικαιολογήσω τη φλυαρία! Άβυσσος η ψυχή του ανθρώπου και πάμε να κλείσουμε ετούτη την τριλογία πομφολυγορρημοσύνης, που μας έβγαλε την ψυχή. Πάμε να μιλήσουμε για την όμορφη επικράτηση των Φυσικών, επί παντός των αριθμητών.

* * *   * * *   * * *

Καταρχάς, αλλά και καταρχήν, ας θεωρήσουμε τους Φυσικούς ως αριθμούς δεδομένους κι αυτονόητους, με την ίδια παιδική σοφία ή αφέλεια, με την οποία δεχόμαστε ως δεδομένο το αμετάκλητο της μητρικής αγάπης ή την αναρίθμητη περατότητα των κόκκων της άμμου. Το μυστικό της συνταγής, στη συνέχεια, είναι το εξής: αντί ν' απαιτούμε διαρκώς την εισήγηση νέων αριθμών, ικανοποιούμε τις ανάγκες μας ορίζοντας, με κατάλληλο τρόπο, νέες σχέσεις ανάμεσα στους ήδη υπάρχοντες. Με άλλα λόγια, στους πρωτογενείς και θεμελιώδεις, καλούς μας Φυσικούς. Σε μια πρώτη, επιφανειακή προσέγγιση, μπορεί κι ο πλέον αδαής να υποψιαστεί τους στόχους μας. Ας κάτσει, να πούμε, κι ας αναλογιστεί τα τετριμμένα μας σχολικά κλάσματα, τα οποία με απλούς ακεραίους φτιάχνουν ένα ολάκερο, καινούργιο κόσμο. Εσαεί μετέωρες διαιρέσεις, τέλειες ή μη, παγιωμένες σε μορφή παστρική και νοικοκυρεμένη: οι ολοκάθαροι ακέραιοι του κλάσματος, σχεδόν θριαμβεύουν πάνω στον βασανιστικό ;D ευκλείδειο αλγόριθμο και τα διαβολικά, δεκαδικά του αποκυήματα. Ας ανέβουμε, λοιπόν, ένα σκαλί πιο πάνω, στην κλίμακα της μαθηματικής αυστηρότητας. Με ποιο, λοιπόν, τέχνασμα μπορεί να ορίσει κανείς τους Ακεραίους, εκ νέου; Τελικά, τι διάολο είναι ένας Ακέραιος - ή ακόμα καλύτερα: τι διάολο είναι ένας Αρνητικός Ακέραιος;

Ακέραιοι

Χωρίς να εμβαθύνουμε σε τίποτα λεπτομερείς αποδείξεις, μιλώντας για Κλειστότητες, Σώματα κι ό,τι άλλο, τέλος πάντων, ξεχωρίζει τον πραγματικό Μαθηματικό από τον φλούφλη (μην πας μακριά), θα σου παραθέσω τώρα Ημερολόγιο, το πώς περίπου έχει η βασική ιδέα (σχεδόν, σου αντιγράφω τον Brand). Πιάνουμε το λοιπόν τη διαφορά δύο Φυσικών, ας πούμε α – β, και την ταυτίζουμε με το ζεύγος (α, β) . Με βάση τούτη 'δω την ταύτιση και αρωγό μια στάλα πονηράδα - γνωρίζοντας εκ των προτέρων τις απαντήσεις, που περιμένουμε - ορίζουμε από την αρχή το τι σημαίνει ισότητα, καθώς επίσης και τις βασικές πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Γράφουμε, δηλαδή, περίπου τα εξής:

(α, β) = (γ, δ) ⇔ α + δ = β + γ

(α, β) + (γ, δ) = (α + γ, β + δ)

(α, β) ∙ (γ, δ) = (αγ + βδ, αδ + βγ)

Με αυτά κατά νου, δεν απέχει πολύ η σύλληψη μιας νέας εικόνας για τους Ακεραίους. Διαπιστώνει κανείς, δηλαδή, ότι τα ζεύγη ετούτα, κατάλληλα μετεγραμμένα, είναι σούπερ ισόμορφα με τους συνήθεις ύποπτους του ℤ. Ορίζουμε, λοιπόν, τους Ακεραίους ως τις παρακάτω τρεις μορφές ζευγών (με x∈ℕ):

• Ζεύγη της μορφής (α + x, x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με τους καλούς μας Φυσικούς (προφανώς, αφού α + x – x = α).
• Ζεύγη της μορφής (x, α + x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με τους Αντίθετους των προηγούμενων (προφανώς, αφού x – α – x = – α).
• Ζεύγη της μορφής (x, x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο της πρόσθεσης (προφανώς, αφού x – x = 0).

Είναι μαγικό, αν σκεφτεί κανείς, πως η «απαίτηση» ενός νέου αριθμού καθίσταται, με αυτό τον τρόπο, περιττή και μπορεί να αντικατασταθεί από τη σύλληψη μιας νέας σχέσης. Φυσικά, κανείς δεν μας απαγορεύει να βαφτίσουμε ετούτη εδώ τη σχέση «νέο αριθμό», δεδομένου ότι κάθε σχέση είναι κάτι διαφορετικό από τα μέρη της και τα υπερβαίνει. Αλλά ετούτο το «νέο» δεν έχει φτιαχτεί, παρά με τα γνήσια, παραδοσιακά υλικά της γιαγιάς και του παππού. Θα μπορούσες να κάνεις ένα σωρό σκέψεις, πάνω σε τούτα. Και δε μιλώ γι' αποδείξεις και τα σχετικά, Ημερολόγιο, παρ' ότι θα 'ταν αρκούντως διασκεδαστικό να κάτσει κανείς να επαληθεύσει τις ιδιότητες των πράξεων, στα προηγούμενα. Μα τώρα μιλώ για μεταφορές και παρομοιώσεις, φιλοσοφήματα και ποιήσεις, ρεμβασμούς της προκοπής ή άλλους της δεκάρας. Παρατήρησε, για παράδειγμα στα προηγούμενα, ότι το Μηδέν ορίζεται ως μια σχέση οποιουδήποτε Φυσικού με τον εαυτό του. Το Μηδέν δεν έχει την παραμικρή χρεία να γεννηθεί ως νέος και «περίεργος» αριθμός. Του αρκεί να λανθάνει ως σχέση αυτοπαθής, μέσα στα ίδια αυτά τα σπλάχνα κάθε αριθμού!

Ρητοί

Αγαπητό Ημερολόγιο, φαντάζεσαι τώρα ό,τι φαντάζομαι; Έπεσες διάνα, ρε μπαγάσα! Θα προχωρήσουμε, τώρα, στη θεμελίωση των Ρητών, με τρόπο παρόμοια πονηρό και τσαχπίνικο. Με σκέψεις ανάλογες, μα ένα σκαλί πιο πάνω, παλεύουμε να ταυτίσουμε το ζεύγος Ακεραίων (α, β) με το πηλίκο τους α / β . Ορίζουμε ισότητα και πράξεις, όπως ακριβώς και νωρίτερα (με x∈ℤ, x ≠ 0):

(α, β) = (γ, δ) ⇔ α ∙ δ = β ∙ γ

(α, β) + (γ, δ) = (αδ + βγ, βδ)

(α, β) ∙ (γ, δ) = (αγ, βδ)

Αν αποφύγουμε τις αποδεικτικές επικύρωσεις όλων των γνωστών και ποικίλων ιδιοτήτων, που απαιτούνται, καταλήγουμε και πάλι στις παρακάτω χαρακτηριστικές κατηγορίες:

• Ζεύγη της μορφής (αx, x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με τους συνηθισμένους μας Ακεραίους (προφανώς, αφού αx / x = α).
• Ζεύγη της μορφής (x, αx) ,
  τα οποία ταυτίζονται με τους Αντίστροφους των προηγούμενων (προφανώς, αφού x / αx = 1/α).
• Ζεύγη της μορφής (x, x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο του πολλαπλασιασμού (προφανώς, αφού x / x = 1).
• Ζεύγη της μορφής (0, x) ,
  τα οποία ταυτίζονται με το Ουδέτερο Στοιχείο της πρόσθεσης (προφανώς, αφού 0 / x = 0).

Άρρητοι

Κι όμως, ετούτη η πηγαία χαρά, που κατακλύζει την ψυχή με την απλότητα και την καθαρότητά της, είναι γραφτό να παγώσει, απότομα, τίποτα χαμόγελα και πρόωρους ενθουσιασμούς. Η ορθή-κοφτή απόδειξη περί μη ρητότητας της τετραγωνικής ρίζας του 2 είναι κατηγορηματική: υπάρχουν ένα σωρό αριθμοί, άλλοι από αυτούς που γνωρίζουμε αβίαστα και περιγράφουμε, με σχετικό αυθορμητισμό. Και μάλιστα αναρίθμητοι! Τι αριθμοί, τώρα, είναι ετούτοι οι διάολοι, που 'ρθαν να μας βασανίσουν και να κρατήσουν τις βραδιές μας αβασίλευτες, ξεγλιστρώντας σα χέλια; Άμα πιάσεις τη δεκαδική τους μορφή δε σε φτάνει μια αιωνιότητα και μια μέρα. Εκτός κι αν είσαι Μηχανικός, οπότε τους σφάζεις κατά το μέτρο, που 'χεις τη μεζούρα ακονισμένη. Στο κάτω-κάτω δεν υπάρχει πιο εύκολο πράγμα, από το να χτίσεις ένα διαγώνιο τοίχο, σ' ένα τετράγωνο σπίτι με πλευρά 1. Ο Μαθηματικός όμως είναι άλλο. Κάθεται πάντα σ' αναμμένα κάρβουνα κι άμα πέφτει το βράδυ για ύπνο, δεν κλείνει μάτι, με τόσα Άπειρα πυρωμένα στον εγκέφαλο. Προσωρινά, γράφει √2, μα τούτος ο συμβολισμός δε λέει και τίποτα, όπως δε λέει τίποτα, ως προς την ποιότητα του ανθρώπου, αν μας συστηθεί κανένας Ναβουχοδονόσορας.

Ο Ριχάρδος Ντέντεκιντ προσπάθησε να στριμώξει αυτούς τους ασύδοτους τύπους με μια δυναμική σύλληψη, παρά με τη στατικότητα, που χαρακτηρίζει τις προηγούμενες στρατηγικές μας. Εφηύρε ένα καινούργιο εργαλείο, που τό 'παμε Τομή Dedekind προς τιμήν του (εκτός κι αν ήταν τόσο ψώνιο και τις ονόμασε έτσι από μόνος του) και το οποίο εκμεταλλεύεται - όπως κάναμε νωρίτερα - το σύνολο των προηγούμενων αριθμών, δηλαδή των Ρητών, προκειμένου να ορίσει τον Άρρητο. Η Τομή αυτή είναι δυναμική - όπως την αντιλαμβάνομαι εγώ - καθώς προϋποθέτει έναν κανόνα, που μεταβάλλεται κατά περίπτωση και με τον οποίο διχοτομούμε κάθε φορά το σύνολο των Ρητών σε δύο μέρη - να τα πούμε Κλάσεις.

Είναι δυναμική επιπλέον και για ένα ακόμα λόγο: αντιλαμβάνεται τους Άρρητους ως «τρύπες», μεταξύ των Ρητών. Και μια τρύπα δεν την πλησιάζεις ποτέ μπαμ κι έξω (ή μάλλον μέσα), εκτός κι δεν αγαπάς τη ζωούλα σου ή οδηγάς στους ελληνικούς δρόμους. Μια τρύπα την πλησιάζεις σιγά-σιγά και με προσοχή. Αν είσαι τυχερός κι κλίση το επιτρέπει, μπορεί να την πλησιάζεις για πάντα, ροβολώντας όλο και βαθύτερα, σα ξέγνοιαστη βόλτα στην αγκαλιά ενός άπειρου κρατήρα. Το σύνολο των Ρητών είναι πνιγμένο σ' αυτές τις τρύπες, άπειρα πυκνές, άπειρα βαθιές και ξέφραγα αμπέλια. Μπορεί κανείς να παίζει μπαλίτσα, όσο κοντά γουστάρει ή τολμά, μα να 'χει κατά νου πως αρκεί ένα στραβοκλώτσι και το ρητό του τόπι, αντί να βρει μάντρα στέρεη, να γκελάρει πίσω, θα χαθεί για πάντα στο βάθος, ίσια καταπάνω στο κεφάλι ενός ανυποψίαστου Άρρητου - αν υποθέσουμε, δηλαδή, ότι η μπαλίτσα θα πέσει τελικά κάπου και δε θα τελεί σε κατρακύλα, στον αιώνα των άπαντα.

[ Ημερολόγιο, η συνέχεια στο 4ο και τελευταίο μέρος ... ]