Saturday, December 16, 2017

Η εκδίκηση του Πυθαγόρα; [Μέρος 2ο]

Αγαπητό Ημερολόγιο,

νομίζω, έχουμε αφήσει μια κουβέντα στα μισά. Τουλάχιστον, ο ένας από τους δυο μας. Μιλώ, για 'κείνους τους αχαΐρευτους Πραγματικούς. Τους χτίσαμε ολάκερο σπίτι, μ' αρχιτέκτονα και decorateur, κι αυτοί μοιάζουν να συμπεριφέρονται σα νά 'μεναν ακόμα στην παράγκα του Καραγκιόζη. Ή μήπως δε φταίει τίποτα; Μήπως είμαστε απλά εμείς οι ιδιότροποι και τρωγόμαστε με τα ρούχα μας; Για πάμε, λοιπόν, μερικές απλωτές πέρα απ' τα κύματα της φλυαρίας μου, μήπως και φανεί καθαρότερα ο ορίζοντας, κατά πού βάλαμε ρότα.

Υπάρχουν δύο βασικά πράγματα, που «ενοχλούν» σε τούτη την ιστορία με τους Πραγματικούς. Το ένα είναι πως - αν εξαιρέσεις μια σχετική ιεραρχική δομή - ετούτο το μαγικό χαλί μας δε θυμίζει και πολύ αραβικό λεπτοδουλεμένο υφαντούργημα, μα περισσότερο χαριτωμένη κουρελού: ράψε μου ένα κλάσμα εδώ, μπάλωσε κι αυτή την δεκαδική τρύπα πιο πέρα, χώσε κάνα πλην κόντρα να δέσει, κόψε μου και τρία μέτρα ρίζα δύο, για φασόν. Οι αριθμοί φαίνονται να στερούνται εσωτερικής ενότητας και συνοχής. Αν μας έδινε κανείς μια κούτα με παράταιρα αντικείμενα κι εμείς τα χωρίζαμε με κάποιον κανόνα σε συρτάρια π.χ. εδώ τα κόκκινα, εκεί τα ξύλινα, όσα έχουν βίδες από κάτω, δε θα 'ταν και πολύ μακριά η παρομοίωση απ' την ορθή αναλογία. Αν ερχόταν κανείς να τα βάλει σε άλλη σειρά ή άλλη τάξη, κατά τις δικές του ανάγκες, θα μας φαινόταν το ίδιο λογικό και δε θ' αρθρώναμε την παραμικρή ένσταση. Κι έτσι η εντύπωση μιας διακριτικής αυθαιρεσίας φαίνεται να πλανάται διαρκώς, πάνω απ' την αυτοκρατορία των αριθμών μας.

Το άλλο ενοχλητικό στοιχείο έχει να κάνει με μια δεύτερη, φαινομενική, αυθαιρεσία: μοιάζει να «παράγουμε» αριθμούς απ' το πουθενά, από τη γκλάβα μας και με το έτσι θέλω, αναλόγως με τις ανάγκες και τα γινάτια μας. Τι; δε γίνεται ετούτη η αφαίρεση στους Φυσικούς; κανένα πρόβλημα! Εμείς θα την κάνουμε, παρ' όλα αυτά, κι ύστερα θα βαφτίσουμε το αποτέλεσμα «αρνητικό»! Ούτε γάτα, ούτε ζημιά, τα πλήθη θαυμάζουν. Τι είπες; Η διαίρεση δε γίνεται στους ακεραίους; Ε να φτιάξουμε τους ρητούς και να πούμε ότι γίνεται. Δεν τρέχει κάστανο! Πως; Η ρίζα δύο δεν είναι ρητή; Νο προμπλέμο, σενιόρ Ορτέγκα (άσχετο)! Τσιγαρίζουμε 250 γραμμάρια ρητούς και 3 φλιτζάνια στερητικά άλφα. Στη συνέχεια σιγοβράζουμε, άλλοτε ανακατεύοντας ριζικά κι άλλοτε απαλά, με στρογγυλή κουτάλα. Κι αυτό πάλι; Δεν ορίζεται η τετραγωνική ρίζα του -1; Δόξα να 'χει ο Γιαραμπής κι ο σουρεαλισμός, άμπρα-κατάμπρα, τώρα ορίζεται!

* * *   * * *   * * *

Το πρώτο στοιχείο, νομίζω, δεν είναι παρά η αναπόφευκτη συνέπεια μιας αντίληψης, η οποία εξελίχθηκε ιστορικά, μέσα στα σπλάχνα των πολιτισμών, με τα ζιγκ-ζαγκ και τα πισωγυρίσματά τους. Η τριβή των ανθρώπων με τις ποσότητες και τις σχέσεις τους δεν στοιχειοθετήθηκε άπαξ, ως μία ολοκληρωμένη και ομοιογενής δομή. Έτσι, χωρίς να πλατειάσουμε σε τίποτε ιστορικές αναπολήσεις, στο κατόπι των Φυσικών ακολούθησαν μάλλον πλησιέστερα στις ανθρώπινες ανάγκες, οι Ρητοί (ως λόγοι Φυσικών, καθότι το σύγχρονο δεκαδικό σύστημα έπρεπε να περιμένει μερικούς αιώνες ακόμα) κι όχι οι Αρνητικοί Ακέραιοι, όπως επιβάλλει η συγκαιρινή μας συνολοθεώρηση. Τώρα, καθώς παράλληλα σκάλισα λίγο το Γούγλιον, υπάρχουν κάποια πρώτα στοιχεία αρνητικού λογισμού ήδη απ' το 200 π.Χ. Αλλά, ακόμα κι έτσι, πολύ αργότερα των κλασματικών στοιχείων. Το μηδέν είχε πολύ δρόμο, ακόμα, μέχρι τα πρώτα δείγματα λογικής και συμβολικής αφαίρεσης μάλλον, παρά ως απλή μνεία κενής θέσης ή έλλειψης. Σήμερα, άμα δε γράφουμε ℕ*, το περιλαμβάνουμε κατά βούληση ακόμα και στους Φυσικούς, παρά το γεγονός ότι δεν ήρθε και πολύ... φυσικά, στις χαρακιές οστών των πρώτων αργόσχολων Sapiens. Μα κι οι Άρρητοι, ως γνωστόν, κατέφτασαν με πάταγο μάλλον νωρίτερα απ' όσους Αρνητικούς ψιθύρους, αφουγκράζονται οι Ιστορικοί των Μαθηματικών, στα Ινδικά και σε άλλα κατάστιχα. Προς το παρόν βαριέμαι να προχωρήσω σε μεγάλο βάθος, τούτη την παράλληλη διερεύνηση, που απαιτείται. Αν απέχω πολύ ή λίγο από την αλήθεια, ας με συνετίσει ο πρώτος φρόνιμος σχολιαστής. Τα άβολα, λοιπόν, αριθμητικά συστήματα, οι διαφορετικές ανάγκες, οι αυθαίρετοι συμβολισμοί του κάθε ερευνητή, τα ιστορικά πισωπατήματα και οι παρακμή των πολιτισμών κι άλλες δεκάδες παράμετροι που αμελώ ή αγνοώ, συγκρότησαν ένα πολυποίκιλτο υφαντό, θαυμαστό και συνάμα ασυνάρτητο, με τον τρόπο του. Αλλά ακόμα και σήμερα, που έχουν τεθεί βάσεις αξιωματικές κι ο φορμαλισμός έχει παγκοσμιοποιηθεί - πολύ πριν ανακαλύψουν τον όρο οι πολιτικοί - το δεύτερο απ' τα δύο ξινά στοιχεία εξακολουθεί να στοιχειώνει τον ακατέργαστο νου της δευτεροβάθμιας ή τον απόφοιτο, που ξεχρέωσε το πτυχίο στο τσίμα-τσίμα. Ημερολόγιο, πού πάει ο νους σου;

* * *   * * *   * * *

Ενώ, λοιπόν, φέρουμε τους Φυσικούς εικονογραφημένους, σχεδόν σαν τατουάζ, στις άκρες των δακτύλων μας κι ο εγκέφαλός μας, λες, μοιάζει γονιδιακά καλωδιωμένος να τους υιοθετήσει, οι Αρνητικοί και το Μηδέν είχαν, όπως είπαμε, δυσκολότερο τοκετό. Άσε τους Άρρητους και τους Μιγαδικούς, που χρειάζονταν καισαρική. Απαιτήθηκαν ένα σωρό «κατόπιν ωρίμου σκέψεως» και νοητικές υπερβάσεις επί των αοράτων κι επί αιώνες, παρά η αυθόρμητη κι αθώα ένα προς ένα αντιστοίχηση των ορατών. Στην Ευρώπη του Διαφωτισμού κι έπειτα, πολλά από τα σημερινά αυτονόητα άγγιζαν τα όρια της δυσκοιλιότητας. Λέει για παράδειγμα η ιστορία πως, κατά 18ο αιώνα μεριά, κυκλοφορούσε μεταξύ των Βρετανών κι ένας ξινομούρης Μαθηματικός, ο Francis Maseres, μαζί με το φιλαράκι του, κάποιον William Friend. Ετούτοι οι δύο - και ποιος ξέρει πόσοι άλλοι γεροντοκόροι - δεν τους πολυγουστάρανε τούτους τους αριθμούς του Σατανά, τους Αρνητικούς. Έγραφε, λοιπόν, ο Maseres για τουτουνούς, πως «συσκοτίζουν κι αυτά τα ίδια τα αξιωματικά θεμέλια των εξισώσεων και θολώνουν πράγματα, τα οποία είναι από τη φύση τους καθαρά και ξάστερα» (Η μετάφραση είναι ελεύθερη, δική μου). Δεν ξέρω αν η γυναίκα του τον άντεχε, ετούτον τον ξινόγαλο Maseres, οι Αρνητικοί ωστόσο δεν τον άντεχαν καθόλου και γι' αυτό τον απέλυσαν, προτού προλάβει να τους απολύσει εκείνος. Είναι σήμερα ολοφανερό ποιος κέρδισε, τελικά.

Έτσι το 'θελαν λοιπόν οι ιστορικές επιταγές: η τριβή με την πραγματικότητα, ως ένα σημείο, και η τριβή με τις ιδέες καθαυτές, απ' το σημείο αυτό και πέρα, ανάγκαζε τους ανθρώπους να παραδέχονται τα αδιέξοδα μιας πρώτης αριθμητικής αντίληψης, να τα συνοψίζουν με την οικονομία της μαθηματικής γραμματικής κι εν συνεχεία να προσπαθούν να τα υπερβούν. Η συλλογιστική αυτή, ειδωμένη ιστορικά, φαίνεται απολύτως λογική. Αν διαβάσει όμως κανείς μια σύνοψη της δομής των πραγματικών, είναι πιθανό να θεωρήσει - λαθεμένα - ότι, κάθε φορά που οι Μαθηματικοί συναντούσαν ένα πρόβλημα, εφεύρισκαν ό,τι αριθμούς τους συνέφερε, ώστε να άρουν τ' αδιέξοδα, κι η διαδικασία αυτή θα μπορούσε να συνεχιστεί στο άπειρο, αν ισάριθμα αδιέξοδα καιροφυλακτούσαν στη μαθηματική οδό. Σα να 'ταν οι αριθμοί αθύρματα κι έρμαια των αναγκών, παρά γεννήματα μιας εσωτερικής συνέπειας και συνοχής. Κι ίσως την ίδια εντύπωση να είχαν τύποι σαν τον Maseres κι ίσως ακόμα κι εκείνος ο Cardano, όταν στα παλέματά του με τις εξισώσεις έβλεπε «φανταστικούς» αριθμούς να ξεπροβάλουν, να κάνουν τη δουλειά τους και στο τέλος να εξαφανίζονται, αφήνοντας πραγματικότατο πεσκέσι.

Από τις πρώτες, όμως, σελίδες του Louis Brand, Ημερολόγιο, συνειδητοποιώ ότι η «σύγχρονη» αξιωματική θεμελίωση των Πραγματικών δεν έχει ανάγκη από νέους αριθμούς. Άμα ζούσε ο Πυθαγόρας, σήμερα, θα χαμογελούσε κάτω απ' τα μουστάκια του. Με μερικές συλλήψεις εξαιρετικά λιτές, διαυγείς και κοφτερές, τα πάντα ανάγονται τελικά σε σχέσεις Φυσικών. Από το ένα σύνολο στο άλλο κι ανεβαίνοντας την ιεραρχία που χτίσαμε νωρίτερα, σαρώνουμε το οικοδόμημα των Πραγματικών από κάθε υπόνοια ad hoc αυθαιρεσίας. Τέρμα στα πλην και τα συν των λάγκελς του Γουάιντμαν (όπως μας λέει κάπου ο Ντενί Γκετζ) ή τα σωσίβια αναγκαιότητας στις τριτοβάθμιες εξισώσεις του Cardano. Ο παππούς Πυθαγόρας θα έσφαζε όχι μια εκατόμβη, απ' τη χαρά του, μα δε θ' άφηνε μοσχάρι για μοσχάρι ζωντανό, σε Σικελία και Κάτω Ιταλία.

No comments :

Post a Comment