Saturday, September 14, 2019

Και εγένετο αριθμός (;)

Αγαπητό Ημερολόγιο,

θυμάσαι, πριν από πολύ-πολύ καιρό, το μαραθώνιο εκείνο ξεδίπλωμα του Δανέζη, εν μέσω εκνευριστικού όχλου, σε κάποιο γραφικό Ινστιτούτο ΑΧΑΝΑ; Έλεγε λοιπόν ο Δανέζης, κάπου απ' το 19:15 κι εξής, τα παρακάτω όμορφα :

«Εκεί έξω στο Σύμπαν, δεν υπάρχει ούτε χρώμα, ούτε μορφή, ούτε σχήμα, ούτε ακούσματα, ούτε γεύσεις, ούτε τίποτα. Εκεί έξω, δεν υπάρχει η 5η Συμφωνική του Μπετόβεν, οι νότες, η ομιλία, η λαλιά, η χροιά. Εκεί έξω, υπάρχει ένας συνεχής και άτμητος ωκεανός κοχλάζουσας ενέργειας. Δεν είναι ακριβώς ενέργειας, είναι ακόμα πιο πίσω, αλλά ας το πούμε ενέργεια. Αυτό το υλικό, το άτμητο, δε μπορούμε να το διαιρέσουμε, αφού είναι άτμητο. [...] Εκεί μέσα [ενν. στο εγκέφαλο] δημιουργείται μέσω της φυσιολογίας του ανθρώπου, η οποία εκδηλώνεται μέσω των αισθήσεών του [...] η έννοια του χρώματος, της μορφής, των ορίων [...] Εάν μπορούσαμε να δούμε το υλικό, το μεταξύ μας, θα 'τανε τόσο πυκνός, αυτός ο χώρος μεταξύ μας, που δε θα βλέπαμε σχεδόν ο ένας τον άλλο. Μια πυκνή ομίχλη. Αυτή η ομίχλη δε μας χωρίζει, όπως αυτό το κενό που νομίζουμε ότι υπάρχει. Αυτή η ομίχλη μας ενώνει.»

Ημερολόγιο, με αφετηρία αυτές τις διατυπώσεις αναρωτήθηκα - με την πρωτόλεια, νωθρή σκέψη μου - αν οι απαρχές της μαθηματικής σκέψης, στην τελική, αντλούν αναπόφευκτα απ' την ανθρώπινη φυσιολογία. Μ' άλλα λόγια, σκέφτηκα, μήπως ο άνθρωπος ήταν «καταδικασμένος» να γίνει Μαθηματικός, ακριβώς εξαιτίας των περιορισμών του. Μπορεί να 'ναι τετριμμένα όλα ετούτα, εγώ ωστόσο τ' αναρωτήθηκα για πρώτη μου φορά.

Οι αισθήσεις, λόγω της μερικότητας και της μεροληψίας τους, διαιρούν τον κόσμο σε διακριτές αισθητές οντότητες. Αν ένας οφθαλμός λειτουργούσε σ' όλα τα μήκη κύματος, θα κατέληγε να μη βλέπει τίποτα. Θα μπορούσε κι η παραμικρότερη ύπαρξη να επιβιώσει σε μια τέτοια κατάσταση του κόσμου, όπου θηρευτής και περιβάλλον θα 'ταν ένα; όπου ο θηρευτής δε θα διακρινόταν καν από το ίδιο του το θύμα; Τι ελπίδες θα είχε τότε η ζωή; Θα μου πεις, ημερολόγιο, το ίδιο πρόβλημα θα 'χαν κι οι θηρευτές και το πιθανότερο, θα κατέληγαν να τρων τα νύχια τους. Αν φυσικά υπήρχαν δημιουργήματα τέτοιας έκτασης, πλάσματα σε απόλυτη συνέχεια με το χωρόχρονο, συνειδήσεις που θα ρίζωναν και θα εκτείνονταν στο άπειρο της ύλης κι αισθήσεις πολλαπλών διαστάσεων, θα 'ταν μάλλον αδύνατο να συλληφθούν απ' την ανθρώπινη αποσπασματικότητα, ακόμα και στην ελάχιστη προβολή τους. Δεν έχουμε το παραμικρό ν' αρθρώσουμε για 'κείνο που στέκει τόσο ξένο προς τη φύση μας, όσο να πούμε η αιωνιότητα, η αθανασία κι οι έντεκα διαστάσεις. Ας μιλήσουμε, λοιπόν, για 'κείνο που κατέχουμε.

Οι αισθήσεις διαιρούν ή περιορίζουν τον κόσμο σ' εκείνα που 'ναι φτιαγμένες να κατανοούν. Έτσι γεννώνται στην αντίληψη διακρίσεις κι επειδή οι διακρίσεις ετούτες στηρίζονται σε σχέσεις (φυσιολογίας) που παραμένουν στον πυρήνα τους σταθερές για εκατομμύρια χρόνους, οι διακρίσεις τούτες παγιώνονται σε οντότητες, σε καθορισμένες προσλήψεις. Καθορισμένες όχι απαραίτητα με λογική αυστηρότητα, σίγουρα ωστόσο με φυσιολογική αυστηρότητα : δύο σύννεφα, που προσεγγίζουν ένα το άλλο ή αποκλίνουν, μπορεί να μην έχουν ποτέ τα ξεκάθαρα όρια που αγαπούνε οι κομίστες, αλλά δεν παύουν στιγμή να 'ναι δυο σύννεφα ξεχωριστά - εννοείται στη μέση ανθρώπινη αντίληψη. Κι έτσι, από τη μιαν αφαίρεση στην άλλη κι όσο, στο διάβα της Ιστορίας, συσσώρευε ο εγκεφαλικός φλοιός νευρώνες κι απολήξεις, μάλλον γεννήθηκαν κάποτε οι πρώτοι φυσικοί (ενν. αριθμοί) : μάνα είναι μόνο μία, κοιτάζεις τον άνθρωπο που αγαπάς μέσα στα δυο του μάτια, τρία πουλάκια κάθονταν κι όταν κρατούμε ένας τον άλλο σμίγουνε δέκα δάχτυλα.

Μα έτσι είναι η φύση της ζωής - της ύπαρξης γενικότερα - τίποτα να μη στέκει απομονωμένο κι ανεξάρτητο, μα σε διαρκές γίγνεσθαι και σχέση. Κάτι που μάλλον είναι αναπόφευκτο, αν ανατρέξουμε και σ' αυτά που μας λέει ο Δανέζης για τη βαθύτερη ενότητα της ύλης. Τώρα, ετούτη η αχαλίνωτη διαπλοκή των πάντων με τα πάντα δε θα μπορούσε να μην αντανακλάται και στους αριθμούς, οι οποίοι ούτως ή άλλως δεν είναι παρά αντικατοπτρισμοί των υπαρκτών. Αρχίνησε ο άνθρωπος ν' ανακαλύπτει σχέσεις στις μετρήσεις - στους αριθμούς, δηλαδή, ως μέτρα - όπως παρατηρούσε στα μετρούμενα. Οι σχέσεις ετούτες σημάδεψαν τη γέννηση της μαθηματικής σκέψης.

Καθώς όμως η μαθηματική ετούτη σκέψη θέριευε κι ωρίμαζε και σωρευόταν, μέσα στους χυμούς και το σφυγμό του ανθρώπινου πολιτισμού, ο νους έπιασε να ξεχωρίζει ενότητες εκεί που μέχρι πρότινος αναγνώριζε μόνο διακρίσεις. Η πορεία των Μαθηματικών, από ένα σημείο και πέρα, άλλο δεν ήταν παρά η αναζήτηση της συμμετρίας, της γενίκευσης, του αγκαλιάσματος μεταξύ των μερών εκείνων που φάνταζαν ξέχωρα μεταξύ τους κι ετερόκλητα. Μήπως τέτοια κοινά παραδείγματα δεν ήταν το πάντρεμα της Γεωμετρίας με την Άλγεβρα κι η ανάδυση της Θεωρίας των Ομάδων, που πήρε υπό τη σκέπη της σύνολα σχεδόν τα μαθηματικά συστήματα;

Τ' ωρίμασμα των Μαθηματικών κι ο δαιμονικός οργασμός τους άνοιξαν τις πύλες πίσω, προς τη χαμένη ενότητα, τις κρυμμένες συναρτήσεις πίσω απ' τους φανερούς αρμούς, τις μυστικές εγγύτητες πίσω απ' τις αποστάσεις. Η ατσάλινη ευθύτητά τους, η δικαιοσύνη των λόγων τους, διείσδυσε με διαύγεια πίσω απ' τους ανταριασμούς των φαινομένων, σ' εκείνη την απόλυτη καθαρότητα του σύμπαντος. Σ' εκείνη την απόλυτη δυνατότητα της δημιουργίας. Όχι, βέβαια, σ' εκείνο τον ανόητο τόπο όπου τα πάντα καθίστανται δυνατά κι ο οποίος είναι απολύτως παράλογος, αλλά στον τόπο αυτόν όπου αποκαλύπτεται η μη αριθμήσιμη δυνατότητα των υπαρκτών. Μ' άλλα λόγια, σύμπαν το καλειδοσκοπικό υφαντούργημα όλων των πιθανών δυνατοτήτων κι όλων των δυνατών πιθανοτήτων. Στην μαθηματική επικράτεια ξετυλίγεται πλήρης, ανόθευτη και κρυστάλλινη κάθε δυνατή ιστορία με νόημα, η οποία θα μπορούσε να ειπωθεί πάνω στα θεμέλια των ίδιων λέξεων. Μπορεί το σύμπαν να είναι αυτό που είναι, ωστόσο τα Μαθηματικά κοιτούνε πέρα απ' τους ορίζοντες, το σύμπαν που μπορεί να γίνει.

Εδώ, θέλω να πω το εξής : τρία τυχαία βότσαλα που φτιάνουν τρίγωνο είναι μια πρώτου επιπέδου ιδιότητα της ύπαρξης, του χώρου. Είναι μια απόλυτη υπαρκτική απλότητα. Αν ο κόσμος είχε πρόθεση, η προθεσή του μάλλον θα σταματούσε εκεί, στην τίμια τριγωνική γυμνότητα. Οι μυριάδες σχέσεις που ανακύπτουν μέσα στα σπλάχνα τούτης της φαινομενικά λιτής οντότητας είναι άλλου επιπέδου : δεν είναι μια πραγματικότητα, είναι καλύτερα μια υπόσχεση. Μέσα στα σωθικά ενός τριγώνου δεν πραγματοποιείται τίποτα περισσότερο από το τρίγωνο καθαυτό, μαγικά ωστόσο κυοφορείται μια ασύλληπτη δυνατότητα : οι άπειρες σταθερές σχέσεις των μερών, των διαμέσων, των υψών, των κύκλων και όλων των θαυμαστών αυτών. Η δυνατότητα ετούτη είναι υπαρκτή στο γονιδιακό κώδικα της Κτίσης, ως ανατομία του όντος, μα δεν είναι υπαρκτή πραγματικά αν δεν την συλλάβει κάποτε ή συνείδηση ως ιδέα ή ως ύλη. Είναι ένας κώδικας προς το παρόν ανερμήνευτος, ένας κώδικας που αγνοεί ως κι ατό του το Σύμπαν. Είναι σα να μιλάμε για το χέρι που εξελίχθηκε καταπώς εξελίχθηκε, δίχως ποτέ του να 'χε την πρόθεση (ή την υποψία) ζωγραφικής, μα παρόλα αυτά στάθηκε ικανό για τούτο. Το χέρι κατασκευάστηκε - να το πούμε συμβατικά - με κάποιο συγκεκριμένο σκοπό, μα παραδόξως πώς και άθελά του, κληροδοτήθηκε με μυριάδες ακόμα δυνατότητες που μένει κανείς ν' ανακαλύψει. Ετούτη η φύση της ύλης να ξεπερνά με κάθε τρόπο εαυτόν, να πλεονάζει διαρκώς, να γίνεται θαύμα μέσα στο θαύμα κι αέναη ανάδυση δυνατοτήτων είναι κάτι που ξεπερνά το νου, μα συνάμα μπορεί να χωρέσει μέσα του.

Ο κόσμος δεν μπορεί να 'ναι τα πάντα, υπάρχουν προφανώς σχέσεις που η ίδια η δομή κι η φύση της Πλάσης αποκλείει ως παράλογες, ας πούμε για παράδειγμα ένας κομήτης με ποδάρια ή μια κονσέρβα με κατάθλιψη. Αλλά οι δυνατότητες που απομένουν αν εξαιρεθεί το παράλογο, είναι ένα άπειρο μιας άλλης τάξης, ένα άλεφ ανυπότακτο στη διάταξη των άλεφ. Ετούτη η απροσδιοριστία του παντός που γεννά περισσότερα απ' τα πάντα θα μπορούσε να γίνει αντιληπτή στην πληρότητά της μονάχα αν το παν είχε αντίληψη το ίδιο και του άρεσε να ενδοσκοπεί. Μα ο ταπεινός άνθρωπος - ταπεινός μόνο στην όψη - βρήκε μιαν άλλη μέθοδο, μέθοδο υψηλής ενάργειας, απαράμμιλης ομορφιάς και λεπτότητας. Τα Μαθηματικά γεννήθηκαν ως τρόπος του νου να ψηλαφεί το αόρατο και υπερ-αισθητό, το λανθάνον και το δυνάμει. Τα Μαθηματικά γεννήθηκαν ως ο τρόπος του νου να συλλάβει όχι απλά το είναι, μα όλα τα δυνατά είναι, να εκμαιεύσει απ' τον Κόσμο εκείνο που ο Κόσμος έχει να προσφέρει μα ο ίδιος ο Κόσμος αγνοεί.

Ημερολόγιο - θα τολμούσα να πω - υποτιμούμε τα Μαθηματικά αν θεωρούμε πως είναι «απλά» ένας τρόπος ώστε να κατανοήσει ο άνθρωπος το Σύμπαν. Είναι πολύ περισσότερο ένας τρόπος το ίδιο το Σύμπαν να κατανοήσει ή ν' αγαπήσει εαυτόν. Και - γιατί όχι - ένας τρόπος κάποτε, εγκαίρως ή στο τέλος του χρόνου, να κυοφορήσει ξανά μια νέα εκδοχή του.

Monday, September 2, 2019

Απολογίας σκέψεις [#03]

Ημερολόγιο,

συνεχίζοντας με ακατασίγαστο ενδιαφέρον την ανάγνωση της Απολογίας του G.H.Hardy, που 'ναι ουσιαστικά ένα ξεδίπλωμα της ανθρώπινης θνητότητας πίσω απ' τη στοχαστική μαθηματική πειθαρχία, κοντοστέκεται κανείς τόσο συχνά και σε τόσα σημεία αναρίθμητα, που θα 'ταν μάταιο να πιάσει να τα θίξει ένα-ένα. Μέσα στα πολλά, διαβάζουμε κάπου και το παρακάτω :

«Είναι αρκετά σύνηθες, για παράδειγμα, για έναν αστρονόμο ή έναν φυσικό να ισχυρισθεί πως βρήκε μια "μαθηματική απόδειξη" ότι το σύμπαν πρέπει να συμπεριφέρεται με έναν ορισμένο τρόπο. Όλοι αυτοί οι ισχυρισμοί, αν ερμηνευθούν κατά λέξη, είναι εντελώς άνευ νοήματος. Δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί με μαθηματικό τρόπο ότι θα συμβεί μια έκλειψη επειδή οι εκλείψεις και τα άλλα φυσικά φαινόμενα δεν αποτελούν μέρος του αφηρημένου κόσμου των Μαθηματικών. Και αυτό, υποθέτω, θα το παραδεχόντουσαν μετά από πίεση όλοι οι αστρονόμοι, ανεξαρτήτως του πόσες εκλείψεις μπορεί να πρόβλεψαν σωστά.»

Ημερολόγιο, θα ήθελα να ξεκαθαρίσω αυτό που μόλις διάβασα, περισσότερο για τον εαυτό μου κι όχι τόσο για να το εξηγήσω σε σένα. Διαισθητικά βέβαια γίνεται άμεσα αντιληπτό, αλλά χρειάζεται ν' άρω κάποιες στενόμυαλες πεισμώσεις. Γιατί, να πούμε, η πετυχημένη πρόβλεψη μιας έκλειψης δε συνιστά μορφή (μαθηματικής) απόδειξης, απ' τη στιγμή που βασίζεται στα μαθηματικά; Κάθε επιτυχής περιγραφή, η οποία ουσιαστικά στηρίζεται στη μέτρηση και την αρίθμηση, δεν είναι μορφή απόδειξης μιας κανονικότητας; Δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε διαφορετικά και να τ' ονομάσουμε π.χ. ένδειξη. Δεν πρόκειται για ένα ενδεχόμενο, για μια πιθανότητα δηλαδή να συμβεί τα τάδε ή το δείνα γεγονός αύριο στις τρεις παρά είκοσι ή του χρονου τον Απρίλη. Δεν είναι τίποτα λιγότερο από μια βεβαιότητα. Ο Hardy, βέβαια, μας δίνει την απάντηση ξεκάθαρα : γιατί τα φυσικά φαινόμενα δεν αποτελούν μέρος του αφηρημένου κόσμου των Μαθηματικών. Και θα πρόσθετα : γιατί η φυσική γνώση συσσωρεύεται επαγωγικά και η επαγωγή (όχι η μαθηματική, η άλλη) είναι μια απόδειξη που κλείνει με αποσιωπητικά κι όχι με τελεία και παύλα.

Προκειμένου ν' αντιληφθούμε αν η περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου συνιστά απόδειξη για οτιδήποτε, θα πρέπει, καταρχάς και καταρχήν, να διερωτηθούμε τι είναι εκείνο που συνιστά ειδικότερα μαθηματική απόδειξη και τι όχι. Απ' τον Ευκλείδη μάλλον και μετά, οποιαδήποτε πειστική συλλογιστική διαδικασία έχει ανάγκη από ένα στέρεα θεμελιωμένο αξιωματικό σύστημα κι ένα σύνολο λογικών κανόνων, με τη βοήθεια των οποίων ξεκινώντας απ' τις ολιγάριθμες προκείμενες πλουτίζουμε σταδιακά το οικοδόμημα μ' ολοένα και περισσότερες έγκυρες προτάσεις. Η λογική διαδικασία της απόδειξης έχει, δηλαδή, ανάγκη από μια αδιαμφισβήτητη αφετηρία και μια αυστηρά πειθαρχημένη συλλογιστική.

Η πρόβλεψη, για παράδειγμα, μιας έκλειψης δεν ικανοποιεί κανένα από τα δύο προηγούμενα θεμελιακά στοιχεία. Καταρχάς, δεν ξεκινά από αδιαμφισβήτητες αλήθειες παρά από μια σειρά (οσοδήποτε) αυστηρών και λεπτομερών παρατηρήσεων, δηλαδή απ' τα καθόλα αμφισβητήσιμα φαινόμενα και τις αισθήσεις. Στο σκοτεινό (ή φωτεινό) βασίλειο των φαινομένων είναι μεγάλη κουβέντα τι συνιστά αλήθεια, τι ψεύδος και τι τ' ανάμεσό τους. Αλλ' ακόμα κι αν σύμπασα η ανθρωπότητα συμφωνήσει ως προς τα παρατηρούμενα και τις μετρήσεις τους, σε καμία περίπτωση δε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε γι' αξιωματικό σύστημα, δηλαδή για ένα μυριάκις διυλισμένο απόσταγμα λογικής αφαίρεσης. Τ' αξιώματα των φυσικών επιστημών όταν δεν αποτελούν επαγωγική συσσώρευση (π.χ. Αρχή διατήρησης της ορμής) δεν είναι παρά κοινά αποδεκτά, λειτουργικά μοντέλα (π.χ. μοντέλο ατόμου του Bohr) υποκείμενα στη φθορά του χρόνου, εξίσου με οτιδήποτε φθαρτό. Θα έπρεπε κανείς να διακατέχεται από περισσό θράσσος προκειμένου να τα χαρακτηρίσει όλα ετούτα ως αλήθειες, με τη φιλοσοφική έννοια. Η κανονικότητα των περισσότερων φαινομένων συνιστά περισσότερο μια τοπική ή χρονική συγκυρία, μια σύμπτωση ή μια εξαίρεση με περιορισμένο βαθμό ισχύος, παρά «νόμο» - ακόμα κι αν ετούτος ο περιορισμός είναι επικών διαστάσεων κι υπονοεί την εφαρμογή του σ' ένα ολάκερο, από τα δυνατά σύμπαντα. Η πρόβλεψη, τελικά, μιας έκλειψης στον πλανήτη Γη δεν έχει την παραμικρή σημασία ή εξουσία στο Γανυμήδη ή τον Άλφα Κενταύρου. Μα και στην ίδια τη Γη μετά από ένα δισεκατομμύριο χρόνια, όταν οι σχετικές θέσεις των σωμάτων θα έχουν αισθητά μεταβληθεί, οι σημερινές "αποδείξεις" δε θα 'ναι παρά γράμμα κενό και αρχαιολογία. Αλλά ακόμη κι αν ισχυρισθεί κανείς πως οι επιμέρους εκλείψεις μεταβάλλονται λιγότερο ή περισσότερο, αλλά η έννοια της Έκλειψης είναι αυστηρά κατοχυρωμένη, είναι αποδεδειγμένα προβλέψιμη σε οποιαδήποτε παραλλαγή της, στη βάση της ουράνιας μηχανικής, εξακολουθεί να μας περιορίζει η εξής πραγματικότητα : όπως και οτιδήποτε στο σύμπαν προκύπτει κατόπιν εορτής από την παρατήρηση και όχι εκ των προτέρων, ως μια αναγκαιότητα η οποία αναβλύζει πηγαία από θεμελιώδεις κανόνες της δημιουργίας - τους οποίους ακόμη γυρεύουμε.

Αλλά πολύ περισσότερο κι απ' την κανονικότητα ή τη συνέπεια των μετρήσεων, η συλλογιστική πορεία της αποκάλυψης του συμπεράσματος - παρά το γεγονός πως στηρίζεται κι αυτή σε αυστηρούς, λογικούς βηματισμούς - δεν έχει την παραμικρή συνέπεια και την εξασφάλιση, τις οποίες προσφέρει η μαθηματική απόδειξη. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβει κανείς την αιτία. Τα παρατηρούμενα δεν υπόκεινται μόνο στη μέτρηση, η οποία μας βρίσκει συνήθως σύμφωνους, μα υπόκεινται εξίσου και στην ερμηνεία. Εδώ είναι ο κόμπος, καθώς τα ίδια δεδομένα, επεξεργασμένα απο τους ίδιους λογικούς κανόνες, οδηγούν συχνά διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικά συμπεράσματα, ενίοτε αντικρουόμενα. Ο επιστημονικός αυτός πλουραλισμός δεν έχει να κάνει στο παραμικρό με τη χωροχρονική παγκοσμιότητα, την αιωνιότητα και την καθαρότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων. Η βελτίωση της τεχνολογίας ξύνει συνεχώς τις ανοιχτές πληγές της καθεστηκυίας ερμηνείας, γιγαντώνει τα κενά σε χάσματα και τις μικρές αβεβαιότητες σε άλλες κερκόπορτες των επιστημονικών θεωριών. Καμία τεχνολογική εξέλιξη, παρόλα αυτά, δεν απείλησε κι ούτε πρόκειται ν' απειλήσει ποτέ τα βαθιά ριζώματα του Πυθαγορείου θεωρήματος ή της Θεωρίας των αριθμών.

Η μαθηματική απόδειξη δεν είναι απλά μι' απόδειξη στηριζόμενη στα μαθηματικά. Είναι το πλατωνικό ισοδύναμο οποιασδήποτε απόδειξης, είναι η απόδειξη εκείνη στην οποία όλες οι άλλες αποδείξεις επιθυμούν να μοιάσουν. Δεν είναι τίποτε λιγότερο από ζωγραφική στον αργαλειό του χωροχρόνου και γλυπτική του πνεύματος πάνω σε άχρονο γρανίτη, παρά στην άμμο ή το βότσαλο της ιστορίας. Είναι μια χαρτογράφηση των σωθικών του σύμπαντος, ένας διάλογος με τη σκέψη του και - γιατί όχι - με τη σκέψη εκείνη, της οποίας το σύμπαν δεν είναι παρά ένας απλός συνειρμός.