Wednesday, July 12, 2017

« Είμαι ο Kurt Goedel και δεν αποδεικνύομαι ... »

Αγαπητό Ημερολόγιο,

σήμερα, θα φιλοξενήσω ένα άρθρο, από εκείνα που ξεχωρίζω απ' το σωρό. Αν ήταν της φίλης Κατερίνας, θα 'πρεπε ν' αντιγράφω κάθε τρεις και λίγο, αλλά ετούτον εδώ το Λάκωνα, δεν τον γνωρίζω κι ούτε βρήκα κανέναν προσωπικό του ή άλλο σύνδεσμο, πέραν μονάχα αυτού εδώ. Το κείμενο είναι όπως ακριβώς θα 'πρεπε (δηλαδή, όπως εγώ θεωρώ ότι θα 'πρεπε) : περιεκτικό, δομημένο, εύστοχο, σπιρτόζικο και σεμνό. Φοβερό πακέτο, έχεις αντίρρηση;

Το αντιγράφω, όχι μόνο γιατί δεν έχω εμπιστοσύνη στα links, που σήμερα είναι κι αύριο δεν είναι (θυμάσαι το "Theorein", εκείνο το αδικοχαμένο blog;), αλλά και για ένα λόγο επιπλέον: το ζηλεύω, με την καλή έννοια. Θα 'θελα να το 'χα γράψει εγώ, να 'ταν γέννημα της δικής μου διάνοιας. Για να 'μαι ειλικρινής, σκόπευα ετούτη εδώ η ανάρτηση να 'ταν μια άλλη εκδοχή της ίδιας ιστορίας, μια διασκευή στα μέτρα μου. Όταν, όμως, ξανάπιασα στα χέρια μου το λιτό κείμενο του Λάκωνα, δε βρήκα να του λείπει ή να του περισσεύει το παραμικρό ∙ μικρό κι όμορφο υφαντό, μ' όλα τα του τα μοτίβα και τα κρόσια κατά πού πρέπει. Ενα σκανταλιάρικο, μαθηματικό σεμεδάκι - θα τολμούσα να πω - να στολίζει τα βιβλία και τις σημειώσεις μου. Μη θαρρείς πως με αυτόν τον τρόπο - και καλά - το απαξιώνω, σε ρόλο διακοσμητικό. Ξέρεις πόσο λατρεύω τα σεμεδάκια, γεννήματα κι αυτά της απέριττης, λαϊκής αισθητικής, η συμμετρία των οποίων μαρτυρεί μια γνήσια, μαθηματική αντίληψη και στους πλέον απλούς ανθρώπους.

Αλλά φτάνει, ημερολόγιο, με τη φλυαρία μου. Απόλαυσε, προς το παρόν, τα παρακάτω κι εμείς - ελπίζω σύντομα - τα ξαναλέμε.


« Είμαι ο Kurt Goedel και δεν αποδεικνύομαι ... »

Είμαστε στα 1930... Τρία χρόνια μετά την ανακοίνωση της Απροσδιοριστίας, η διεθνής Φυσική κοινότητα έχει για τα καλά εμπλακεί στον σημαντικότερο εμφύλιο της ιστορίας της επιστήμης... Αιτιοκρατία ή Κβαντομηχανική; Ο Θεός Αϊνστάιν είναι κατηγορηματικός: «Ο Θεός δεν παίζει ζάρια»... Αλλά ο Νηλς (Μπορ)απαντά: «Δε θα μας πεις εσύ Άλμπερτ τι παιχνίδι θα παίζει ο Θεός...» ... Όπως και να το κάνουμε, μια τέτοια απάντηση το ξανασκέφτεσαι αν θα την ξεστομίσεις... Δεν είσαι δα και ο Πάπας...

Όπως εύκολα κατανοεί κανείς, η Φυσική είναι αρκετά απασχολημένη αυτό τον καιρό για να αντιληφθεί τι συμβαίνει στο πεδίο των Μαθηματικών... Αυτόν τον καιρό δύο είναι τα κύρια θέματα συζήτησης... Η fractal σκέψεις μερικών μαθηματικών από την αρχή του αιώνα... και μια προσπάθεια τέλειας θεμελίωσης των μαθηματικών θεωριών.

Η πραγματικά καθολική προσπάθεια της, Ευρωπαϊκής κυρίως, Μαθηματικής κοινότητας να δημιουργήσει, ή καλύτερα να επαναπροσδιορίσει, της ήδη υπάρχουσες θεωρίες βάσει θεμελιωδών συνολοθεωριών οι οποίες θα εγγυούνταν την συνέπεια και πληρότητα των πρώτων.

Μια μαθηματική θεωρία είναι συνεπής όταν δεν περιέχει αντιφάσεις και πλήρης όταν όλες οι προτάσεις (συμπεριλαμβανομένων και των αντίθετων αυτών) που δηλώνονται μέσα στη θεωρία είναι αποδείξιμες.

Τρεις ήταν οι κυριότερες ομάδες επιστημόνων προς αυτόν τον σκοπό:
  • Η ομάδα των Γερμανών φορμαλιστών υπό τους Hilbert και Von Neumman,
  • η ομάδα των Βρετανών λογικιστών υπό τον Russel (μια μαθηματική διάνοια με βραβείο Νόμπελ λογοτεχνίας!) και τέλος
  • μια ομάδα που αποτελούνταν κυρίως από Ολλανδούς επιστήμονες γνωστή και ως ομάδα των «οραματιστών»...
Ο στόχος κοινός, η φιλοσοφία όμως διαφορετική!

Η σημαντικότερη ομάδα ήταν εκείνη του Hilbert. Ο Φορμαλισμός αποσκοπούσε στο να εγκαθιδρύσει συνέπεια και πληρότητα πάνω σε κάθε μαθηματική θεωρία, όχι μόνο για να θεμελιώσει σταθερά και λογικά την επιστήμη των μαθηματικών... Μια τέτοια θεώρηση των Μαθηματικών θα μας έδινε τη δυνατότητα να αποφασίσουμε αλγοριθμικά αν οποιαδήποτε δεδομένη πρόταση ανήκει σε μια θεωρία. Κάτι τέτοιο θα υποβάθμιζε τα Μαθηματικά σε μια μηχανική διαδικασία.

Την προσπάθεια αυτή των Ευρωπαίων έκανε κυριολεκτικά σμπαράλια μια εργασία που δημοσιεύθηκε το 1931 από τον αυστρο-ούγγρο Kurt Goedel. Αποτελούμενη από δύο θεωρήματα «Η Θεωρία της Μη Πληρότητας» συντάραξε (κατά παρόμοιο τρόπο όπως η Αρχή της Απροσδιοριστίας στη Φυσική) τη Μαθηματική κοινότητα...

Στο πρώτο του θεώρημα, ο Goedel αποδεικνύει πως κάθε συνεπής θεωρία που περιέχει τους φυσικούς αριθμούς είναι μη πλήρης, ενώ το δεύτερο για πολλά χρόνια πολύ καλός φίλος του Αϊνστάιν «τα κάνει ακόμα πιο μαντάρα» δείχνοντας πως τέτοιες θεωρίες (συνεπείς και μη πλήρεις) δεν μπορούν από μόνες τους να αποδείξουν πως είναι συνεπείς. Η συνέπεια μια μαθηματικής θεωρίας, δηλαδή, αποδεικνύεται αλλά όχι μέσα στην ίδια τη θεωρία αυτή αλλά σε μια ευρύτερή της. Το καταστροφικό συμπέρασμα είναι πως η απόδειξη της συνέπειας κάθε «ευρύτερης θεωρίας» θα απαιτεί πάντα μια ακόμη μεγαλύτερη που να την περιέχει οδηγώντας μας σε μια άπειρη ακολουθία θεωριών που δεν οδηγεί πουθενά...

Το πραγματικά απίστευτο σ’ αυτήν την θεωρία της μη πληρότητας είναι η γενική σκέψη πάνω στην οποίο στηρίζεται και αποδεικνύεται...

Ο Goedel χρησιμοποίησε ένα ιδιοφυές αριθμητικό σύστημα για να μεταφράσει προτάσεις μιας μαθηματικής θεωρίας (έστω Τ) σε αριθμητικές δηλώσεις μέσα στην Τ. Έπειτα κάνοντας χρήση πολλών και πολύπλοκων λογικών σκέψεων για να καταλήξει στο ότι μια θεωρία δε θα μπορούσε να αποδειχθεί ότι είναι πλήρης ή συνεπής. Ο φίλος μας κινήθηκε χοντρικά ως εξής:

Έστω Τ μια μαθηματική θεωρία και S μια αριθμητική πρόταση της Τ που σημαίνει :

«εγώ δεν αποδεικνύομαι στην Τ»!

Αν S αποδείξιμη στο Τ --> S ψευδής και --> Τ ασυνεπής.
Άρα S μη αποδείξιμη (και άρα αληθής).

Αφού S αληθής τότε η οχιS==(εγώ αποδεικνύομαι στην Τ) πρέπει να είναι μη αποδείξιμη (και άρα ψευδής). Συνεπώς : S και οχιS μη αποδείξιμες --> Τ μη πλήρης.

Αν τέλος προσπαθήσουμε να αποδείξουμε τη συνέπεια της Τ θα αποδείξουμε την S, πράγμα αδύνατο.

Το αξιοσημείωτο είναι πως το θεώρημα της Μη Πληρότητας ισχύει σε κάθε μαθηματικό σύστημα, ακόμη και σ’ αυτό της αριθμητικής, δίνοντας μια νέα φιλοσοφική διάσταση σύμφωνα με την οποία τα Μαθηματικά δεν είναι σε θέση να υπολογίσουν (ή να αποδείξουν) το οτιδήποτε... Είναι σίγουρα μια απογοήτευση...

editor: CsLaKoNaS
copyright 2003

No comments :

Post a Comment