Ισότητες πιο ίσες από άλλες

Αγαπητό Ημερολόγιο,

όπως σου υποσχέθηκα θα σου μιλήσω σήμερα για μιαν αφορμή (δηλαδή, άλλη μια από τις τόσες) η οποία μου άνοιξε τα μάτια και μ' ανάγκασε ν' αντικρύσω τον εαυτό μου και, αφού τον έφτυσα μια στάλα, να τον αναθεωρήσω. Για να δεις πως δεν είμαι τίποτα ξινός από φυσικού μου αλλά με κάνει ξινό η μετριότητα των ανθρώπων, όταν δηλαδή διαφημίζεται ως κάτι άλλο, μα κάθε φορά που έρχομαι αντιμέτωπος με το ορθό, το όμορφο, το άξιο, το αληθινό, υποτάσσομαι στην ισχύ τους κι αγωνίζομαι, με τη σειρά μου, να γίνω μιμητής αν είμαι αρκετά δυνατός ή πρέσβης κι αγγελιοφόρος τους αν δε μπορώ να ψηλώσω τόσο. Μιλώ για εκείνο το τεύχος 114 του Ευκλείδη Α΄ όπου, στο άρθρο «Η Ελλειματική Προσοχή μια τροχοπέδη στα Μαθηματικά», του Μαθηματικού-Ειδικού Παιδαγωγού Γιάννη Νικολόπουλου, διαβάζω κάποια στιγμή και το παρακάτω απόσπασμα (σελ.42) :

« Κυριαρχεί μια αντίληψη να μεταφέρουμε το διδασκόμενο θέμα κάπως απλοϊκά με κίνδυνο να δώσουμε λαθεμένη αντίληψη στους μαθητές όλης της τάξης. Για παράδειγμα: "Εξίσωση είναι η ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή Χ και οφείλουμε να βρούμε τον άγνωστο Χ". Έλα όμως που η ΙΣΟΤΗΤΑ ισχύει πάντα για όλες τις τιμές της μεταβλητής Χ. »

Ημερολόγιο, δε σου κρύβω πως απόμεινα να κοιτώ στο υπερπέραν για μερικές στιγμές. Μα τι λέει τούτος εδώ, αναρωτιόμουν; Τούτος δεν είναι ο ορισμός της εξίσωσης; πού 'ναι το πρόβλημα; Το άλλο δεν είναι ο ορισμός της ταυτότητας, δηλαδή μια ειδική περίπτωση; Τι διάλο θέλουνε πια απ' τη ζωή μας όλοι ετούτοι οι ετερόκλητοι ινστρούχτορες; Και πού 'ναι επιτέλους το κράτος, πού 'ν' τα χαμένα νιάτα μου, πού στα κομμάτια έβαλα τα κλειδιά μου; Για κάποια αιώνια δευτερόλεπτα, στο δωμάτιο ακουγόταν μόνο το θρόισμα μια μύγας και λίγες σταγόνες σάλιο, καθώς έσταζαν από τα στραβωμένα χείλη μου. Ευτυχώς, ετούτες οι μαϊμουδίστικες ασυναρτησίες διήρκησαν μονάχα μερικές στιγμές και σύντομα το μαθηματικό παράρτημα του εγκεφαλικού φλοιού πήρε ξανά το πάνω χέρι. «Μα ναι, ναι και πάλι ναι!» μουρμούριζα συνεχώς στον εαυτό μου. Δεν έχει κανένα νόημα μια ισότητα άμα δεν είναι ακριβώς αυτό, δηλαδή ισότητα! Μια ισότητα η οποία δεν ισχύει πάντα μα κάπου-κάπου, μια ισότητα η οποία ακυρώνεται ενίοτε από τους ίδιους της τους όρους δε μπορεί να είναι ισότητα. Ως εκ τούτου πώς μπορούμε να ονομάζουμε «ισότητα» μια παρόμοια μαθηματική έκφραση, όπως π.χ. μια εξίσωση με μοναδική λύση, όταν ακριβώς αυτό, ισχύει μία και μόνο φορά στην απεραντοσύνη κι ακόμα παραπέρα! Έπεφτα απ' τα σύννεφα με τούτη την συνειδητοποίηση! Μα κι απ' την άλλη, λέω στον εαυτό μου, καλά εντάξει, μπορεί εγώ να 'μαι μαλάκας, αλλά δεν είμαι από εκείνους τους μαλάκες με περικεφαλαία, είμαι απ' τους άλλους, τους ντεμί, που διαβάζουν διαρκώς βιβλία κι άρθρα συνεδέλφων τους. Πώς είναι δυνατόν, ούτε μια φορά στα τόσα χρόνια να μην κουτούλησα ποτέ σ' αυτή τη διαπίστωση;;

Ξεκίνησα τους απολογισμούς και τις αναπολήσεις. Καλά λέω το Πανεπιστήμιο, ας αποπεμφθεί εις κόρακας, θεωρούσε τα πάντα δεδομένα απ' το σχολείο, κανείς δε κάθονταν να σκάσει για να μας ξεγκαβώσει ποιος είν' ο ορθός ορισμός της εξίσωσης. Μα κι εγώ, από την άλλη, δεν ήμουν δα και κανένας φοιτητής υπόδειγμα. Να πούμε βέβαια και του στραβού το δίκιο, κυκλοφορούν ανάμεσά μας ένα σωρό παρανοήσεις οι οποίες, όταν δεν αποτελούν τερατώδεις αντιφάσεις, επιτελούν μια χαρά το έργο τους δίχως να υποψιαστεί κανείς το παραμικρό. Πώς το λέει ο Νίτσε στην «Καταγωγή της γνώσης» («Χαρούμενη Επιστήμη», 110, Εκδ. Νησίδες); «Για τεράστιες χρονικές περιόδους ο νους δεν γέννησε τίποτε άλλο από πλάνες∙ μερικές απ' αυτές αποδείχτηκαν χρήσιμες και κατάλληλες για τη διατήρηση του είδους». Έτσι κι εγώ, καθιστώντας δια της πλάνης προσιτό το μάθημα, φιλοδοξούσα να γίνομαι περισσότερο αγαπητός, αυξάνοντας συνεκδοχικά τις πιθανότητες να βρω και του χρόνου εργασία, ώστε τελικά να επιβιώσω και να διατηρήσω το είδος μου (ποιο είδος ακριβώς;). Περισσότερο, βέβαια, το 'πα ετούτο όχι τόσο γιατί το πιστεύω, αλλά γιατί επιθυμούσα κι εγώ να παραθέσω ένα τσιτάτο, όπως όλος ο κόσμος της κουλτούρας που σέβεται τον εαυτό του. Άμα τρεις στις πέντες φράσεις δεν είναι τσιτάτα αλλωνών πώς να σε πάρει ο άλλος σοβαρά ο άλλος, πως είσαι να 'ούμε διαβασμένος; Τα παραθέματα ποιητών, λογοτεχνών ή άλλης αυθεντίας είναι για τον αμπελοφιλόσοφο σαν τη μεγάλη, στρόγγυλη σφραγίδα στο πρωτόκολλο: δίχως τη μεγάλη, στρόγγυλη σφραγίδα το χαρτί που κρατάς είναι ένα σκέτο πατσαβούρι.

Ημερολόγιο, πήρα την απόφαση να εκτεθώ ολοσδιόλου, οπότε θα 'μαι ασυγχώρητα ειλικρινής μαζί σου: όσο θυμάμαι λοιπόν τον εαυτό μου, απ' το σχολείο μέχρι σήμερα, δηλαδή 17 (κι ολογράφως: δεκαεπτά) συναπτά έτη καθηγητής δευτεροβάθμιας, δε μπορώ να ανακαλέσω ούτε μια στιγμή στη ζωή μου, στην οποία ν' αναρωτήθηκα ή να προβληματίστηκα για την προηγούμενη αντίφαση, αν δηλαδή μια εξίσωση είναι για δεν είναι ισότητα. Αλλά με τρομάζουν ακόμα περισσότερο όλες εκείνες οι αντιφάσεις, για τις οποίες μάλλον δεν έχω πάρει πρέφα. Αναρριγώ και μόνο στη σκέψη του όγκου τους. Βέβαια, ετούτο το τελευταίο εμπεριέχει και μια φωτεινή, αισιόδοξη ερμηνεία: τι άλλο είναι λοιπόν ο βίος του ανθρώπου παρά αυτό ακριβώς, ένα ευγενές αγώνισμα τελείωσης, μια διαρκής πορεία αφύπνισης κι αυτοδιόρθωσης; Είναι αναπόφευκτο ένα ανθρώπινο ον να 'ναι γεμάτο αντιφάσεις, αντιθέσεις και πλάνες. Τι ομορφότερο κρύβεται στη ζωή από τις διαδοχικές αυτές απελευθερώσεις του νου κι άλλοτε της καρδιάς, όπου συγκρίνεσαι μ' ένα πρότερο εαυτό και λες «εντάξει, άξιζε τον κόπο»; Θα μου πεις πάλι - και με το δίκιο σου - ότι πήρα εκεί μιαν ευτελή αφορμή, τον ορισμό της εξίσωσης, και την έκανα μεσανατολικό. Όχι αναιρώ. Δεν έχεις δίκιο. Από ετούτα τα ευτελή φανερώνονται πολύ μεγαλύτερες ανεπάρκειες άλλοτε γνωστικές κι άλλοτε μεθοδολογικές. Όλα έχουν την σημασία τους. Κάθε σκοτεινιά, οσοδήποτε μικρή, έχει βαθύτερο νόημα κι είναι πηγή αθρόας και άδολης χαράς σα φωτίζεται, επιτέλους, από το νου κι εξαϋλώνεται στα εξ ων συνετέθη. Ας επιστρέψουμε, όμως, στο θέμα μας.

Καταλήγω, λοιπόν, πως δεν είναι δυνατόν να θυμάμαι τον ορισμό ετούτο, εννοώ έτσι λαθεμένο, ίσα γραμμή απ' το σχολείο - εδώ δε θυμάμαι τι έφαγα την Κυριακή. Υποτίθεται, ακόμη, πώς κάθε χρόνο ξεφυλλίζω εκ νέου τα σχολικά βιβλία, δε μπορεί. Ανοίγω αμέσως το τρέχον σύγγραμμα, από τους Βλάμο, Δρούτσα, Πρέσβη και Ρεκούμη, όπου διαβάζω τελικά πως «η ισότητα αυτή, που περιέχει τον άγνωστο αριθμό x, ονομάζεται εξίσωση». Αμέσως συνέρχομαι και ξεφυσώ. Εντάξει, δεν είμαι εξωγήινος, ούτε εκείνο το ισχαιμικό επεισόδιο άφησε βαρύτερα τα χνάρια του. Βέβαια, θα μπορούσε κανείς ορθότατα να μου αντιγυρίσει ότι, αποσπώντας το προηγούμενο από τα συμφραζόμενα, αλλοιώνω τελικά το νόημά του. Στο παράδειγμα του σχολικού βιβλίου προηγείται ένας ζυγός που ισορροπεί, πάει να πει μας δίνεται ως δεδομένο πως ο προτασιακός τύπος αληθεύει. Σ' εμάς είναι απλά χρέος ν' αποκαλύψουμε την ειδική εκείνη περίπτωση που τον καθιστά αληθή, δηλαδή τη λύση της εξίσωσης. Δεκτό, να πούμε όμως και τούτο: σε ποιο σημείο ακριβώς του κειμένου γίνεται σαφής αυτή η τόσο βαρύνουσα επισήμανση;

Θυμάμαι όμως και τούτο: το 2003 που πάτησα πρώτη φορά το πόδι μου στην τάξη, δεν ήταν ακόμα τούτο το βιβλίο παρά εκείνο το μπλε των Αλιμπινίση, Γρηγοριάδη, Ευσταθόπουλου, Κλαουδάτου, Παπασταυρίδη και Σβέρκου (πουφ! μεγάλη παρέα!). Λέω δε μπορεί, κάπου εκεί πρωτοδιάβασα (για δεύτερη πρώτη φορά) τούτο τον εκφυλισμένο ορισμό εξίσωσης - το θυμάμαι σχεδόν σα χθες - προκειμένου να μπω και να διδάξω πρώτη μου φορά, δέκα χρόνια δηλαδή μετά τις πανελλήνιες. Σκαλίζω τα ράφια μου, το πατάρι, τη ντιβανοκασέλα, σύντομα συνειδητοποιώ πως η στενότητα του χώρου, η οποία με υποχρεώνει συχνά σε δυσβάσταχτες εκκαθαρίσεις, είναι ηθικός αυτουργός σωρείας ελλείψεων: το βιβλίο φέτος μάλλον διατελεί στην δέκατη-έβδομη ανακύκλωσή του, σα τις πυθαγόρειες μετεμψυχώσεις. Σέρνομαι στις σκόνες για τίποτε ξεσκισμένα αποκόμματα. Μηδέν στο πηλήκιον. Ούτε ο φίλος μου, το διαδίκτυο, έχει να μου προσφέρει πηγή να ξεδιψάσω: το βιβλίο εκείνο έχει εξαφανιστεί από προσώπου (ηλεκτρονικής) γης, εκτός από μερικά παλαιοπωλεία. Κανείς δε νοσταλγεί να το σκανάρει κι αυτό ίσως να σημαίνει κάτι για την ποιότητά του. Ο Μέγας Γεωμέτρης, ωστόσο, αγαπάει τον κλέφτη, αγαπάει και το νοικοκύρη, συνεπώς εμένα, όντας κι απ' τα δύο, μ' αγαπάει διπλά! Κάπου ανάμεσα Νοστράδαμο και Τσελεμεντέ γωνία, ξεθάβω το αείμνηστο εκείνο βιβλίο του δικού μου γυμνασίου, φυλαγμένο απ' τα τρυφερά εφηβικά χρόνια της ακμής και της τριχοφυΐας!! Μαγεία!! Όπου τι ανακαλύπτω λοιπόν, καλό μου Ημερολόγιο, προς συν άπειρη έκπληξή μου; Ε καλά, θα σου το πω, βεβαίως, αλλά νωρίτερα θ' ανοίξω μια παρένθεση.

Η παρένθεση ( ... )

Έτσι, εν τω μεταξύ, αφού αναρωτήθηκα για όλα τα προηγούμενα, το πρώτο πράγμα που έκανα Ημερολόγιο ήταν να βγω στην παγανιά για τον πραγματικό ορισμό (της εξίσωσης). Άμα δεν ήταν ο πραγματικός ορισμός, ετούτες οι τετριμμένες αράδες που ξεφουρνίζω κάθε χρόνο στους μαθητές (και τον εαυτό) μου, ποιος στην ευχή θα μπορούσε να είναι ο 100% αληθινός ορισμός, εκείνος στον οποίο εντρυφούν οι Μύστες και οι Διδάσκαλοι 33ου βαθμού; Δε χρειάστηκε να ψάξω πολύ. Ο αγαπημένος Κυριακόπουλος εμφανίστηκε τάχιστα με τον πανίσχυρο φακό του, ώστε να υποδείξει για μιαν ακόμη φορά το σωστό μονοπάτι στο βασανισμένο του συνάδελφο που, χαμένος μέσα στα μαύρα του μεσάνυχτα, σκόνταφτε στα μαθηματικά πουρνάρια και τους λόγγους. Παρένθεση της παρένθεσης: μόλις μπήκα στο διαδίκτυο (μα τι λέω, εφόσον γράφω στο blogger είμαι ήδη μέσα!) και προκειμένου ν' ανατρέξω στο σύγγραμμα του Κυριακόπουλου, έβαλα στην αναζήτηση «ορισμός εξίσωσης» με αποτέλεσμα αντί να διαφωτιστώ, το ακριβώς αντίθετο, να... καταταντροπιαστώ! Αμέσως μετά τη Βικιπαίδεια, φάτσα κάρτα μοστράρει - πανάθεμά τον - ο Κοσμοναύτης (δηλαδή εγώ) να διαφημίζεται σαν άλλος παλιάτσος μ' εκείνον ακριβώς τον ορισμό που μόλις καταδίκασα! Ρεντίκολο γίναμε! Πόσο χαμηλότερα να πέσει κανείς, πόσο; Κλείνει η μικρότερη παρένθεση κι επιστρέφουμε.

Διαβάζουμε, λοιπόν, στον καλό Κυριακόπουλο πως:

« Ορισμός. Έστω δύο μη κενά σύνολα Ω και Τ και δύο συναρτήσεις f: Α → Τ και g: Β → Τ μιας μεταβλητής, όπου Α και Β είναι δύο μη κενά υποσύνολα του Ω. Ο προτασιακός τύπος f(x) = g(x) ονομάζεται εξίσωση με έναν άγνωστο x και με σύνολο αναφοράς το Ω»

Μα τις χίλιες φάλαινες και τα γένια του Δια!! Αυτό ακριβώς!! Αυτό ακριβώς θα έπρεπε να είναι (και είναι όντως) μία εξίσωση! Όχι μια παραγνωρισμένη ή ξευτελισμένη ισότητα, μα ένας προτασιακός τύπος!! Μια μαθηματική έκφραση σε αναμονή, μια λογική πρόταση σε εκκρεμότητα!! Μια δήλωση η οποία δε στέκει από μόνη της μα περιμένει ένα νου ν' αποφανθεί, να μεριμνήσει για λογαριασμό της, να διακρίνει τα «πώς», τα «γιατί» και τα «πότε» της. Μια εξίσωση είναι μια ανοιχτή πρόκληση προς εκείνον που διαβάζει, ένα νεύμα για επικοινωνία και δράση. Θα μπορούσαμε να πούμε και τούτο: μια εξίσωση είναι ένας ανοιχτός κόσμος, μια υπόσχεση, ο οποίος έχει ανάγκη από τον εξερευνητή του προκειμένου να πραγματωθεί ή ν' ακυρωθεί διαπαντός ως ουτοπία. Έτσι, στα μάτια μου τουλάχιστον, μια εξίσωση ξαναβαπτίζεται και αναδύεται πλέον απαράμιλλα ομορφότερη από πριν. Μια ισότητα δεν είναι παρά τροφή ήδη μασημένη, από εκείνον που την έχει επιμεληθεί και την παρουσιάζει. Μια ισότητα δεν κουβεντιάζει, μα παραμιλάει μόνη την ταυτολογική αλήθεια της. Μια εξίσωση, απ' την άλλη, είναι ένα ερώτημα, σ' έχει ανάγκη, επιζητεί τη συντροφιά σου, την αγάπη σου. Η επίλυση μιας εξίσωσης είναι μια χέρι-χέρι πορεία μαζί της, ώστε να φτάσετε σε μια κοινή αλήθεια, κι όχι μονόδρομος προς μιαν αλήθεια έτοιμη και προμελετημένη.

( ... )

Τώρα που το ξεκαθαρίσαμε κι αυτό κι είμαστε έτοιμοι να βάλουμε πλώρη για νέους μαθηματικούς ωκεανούς, ας κλείσουμε επιτέλους την αρχική παρένθεση κι ας επιστρέψουμε, Ημερολόγιο, σ' εκείνο που σου 'ταξα νωρίτερα. Το βιβλίο της Β΄ Γυμνασίου, λοιπόν, είναι το μόνο που 'χω φυλάξει απ' το Γυμνάσιο, με μια διττή πιθανότητα είτε να μην είναι καν δικό μου, αφού δε βρίσκω ούτε μία από εκείνες τις ζωγραφικές καλικατζούρες με τις οποίες παραγέμιζα όλα τα περιθώρια, είτε να μην ήμουν και πολύ φανατικός χρήστης του. Τέλος πάντων, πρόκειται για 'κείνο το βιβλίο με τις πράσινες και μωβ βούλες των Παπαμιχαήλ, Μπαλή, Γιαννίκου, Νοταρά και Σολδάτου. Αν κάμει, λοιπόν, κανείς τον κόπο να ξεφυλλίσει το βιβλίο μέχρι το έκτο κεφάλαιο θ' αντικρύσει κάποτε και τον παρακάτω τίτλο: «Προτασιακοί τύποι - Εξισώσεις - Ανισώσεις»!! Ναι, ναι, κι όμως! Στη Β΄ Γυμνασίου! Όσο κι αν τρίβεις τα μάτια σου, Ημερολόγιο, ο τίτλος είναι αυτός ακριβώς που μόλις διάβασες!! Στην παράγραφο 6.7, λοιπον, μ' επικεφαλίδα «Εξίσωση α΄ βαθμού μ' έναν άγνωστο» διαβάζουμε επιτέλους:

«Ας θεωρήσουμε μια μεταβλητή x που παίρνει τιμές από το σύνολο Α = {1, 4, 5, 8} και τον προτασιακό τύπο p(x): 3x + 5 = 17 . Ο τύπος αυτός αποτελείται από δύο μέρη που συνδέονται με το σύμβολο της ισότητας. Ένας τέτοιος προτασιακός τύπος λέγεται εξίσωση με έναν άγνωστο και μάλιστα πρώτου βαθμού ... »

Σοκ και δέος Ημερολόγιο!! Κάθιδρος ο εφηβικός ίουλος του σωτηρίου σχολικού έτους '87 - '88 είχε ν' αντιμετωπίσει έννοιες όπως «προτασιακός τύπος» και «σύνολο ορισμού», όταν σήμερα παλεύουμε να ξεχωρίσουμε το συντελεστή του αγνώστου απ' τον άγνωστο! Καταιγισμός σκέψεων! Ήταν δηλαδή τα παιδιά τότε εξυπνότερα ή ικανότερα να χωνέψουν αυτές τις θεμελιώδεις αφηρημένες μαθηματικές έννοιες; Ούτε ξώφαλτσα δε νομίζω, καλέ μου φίλε. Είμασταν το ίδιο βλαμμένα με τα σημερινά παιδιά. Μόνο κινητά δεν είχαμε. Είναι οι σημερινές παιδαγωγικές και διδακτικές μέθοδοι, το ξεδίπλωμα της ύλης περισσότερο μελετημένα, περισσότερο κατάλληλα απ' ότι πριν τριάντα-τόσα χρόνια (φοβούμαι να κάνω την αφαίρεση ως τέλους); Δε γνωρίζω, μα κλίνω προς καταφατική απάντηση. Μπλέκονται μεταξύ τους οι αλήθειες και τα δίκια (ο Πλάτων δε θα τα διαχώριζε αυτά τα δύο). Όσο δυσκολεύομαι ν' αγνοήσω την ορθότερη μαθηματική προσέγγιση της εποχής, τόσο δυσκολεύομαι σήμερα, με μια κάποια διδακτική πείρα, ν' αποδεχτώ πως ένα παιδί 13 χρονών είναι νοητικά ή ψυχολογικά έτοιμο να τις οικειοποιηθεί.

Νομίζω Ημερολόγιο, πως η θεμελιώθεν ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών δεν συμβαδίζει με την πνευματική ωρίμανση του ανθρώπου στις ηλικίες αυτές, παρά μόνο κατ' εξαίρεση σ' εκείνους τους ιδιαίτερους νόες των οποίων η κλίση αποκαλύπτεται θριαμβικά από νωρίς. Κατά τ' άλλα, η διδακτική διαδρομή είναι αναγκασμένη - από αγάπη, όχι από ευκολία - να προχωρά ως χορευτής με πιρουέτες, ζιγκ-ζακ και μαίανδρους, παρά ως πολεμιστής με σπάθες, ευθείες βολές και κατά μέτωπα. Τα λογικά θεμέλια των μαθηματικών είναι ένα σκαλί πιο πάνω στην κλίμακα της πειθαρχίας και της υπομονής από τα τυποποιημένα αλγοριθμικά κι η εφηβεία δεν διακρίνεται ακριβώς από περίσσεια παρόμοιων αρετών. Ως εκ τούτου, θαρρώ πως καλώς αφαιρέθηκαν απ' την ύλη γυμνασίου, κάκιστα ωστόσο που αφαιρέθηκαν δια παντός, αντί να μεταφερθούν στην Α΄ Λυκείου ή αλλού. Να τονίσω, πως τα πράγμα γίνονται ακόμη χειρότερα αργότερα διαπιστώνοντας πως, τουλάχιστον στο Πανεπιστήμιο της Πάτρας απ' το '93 ίσαμε το '99 που φοίτησα (ουδέν σχόλιο!), η Μαθηματική Λογική δεν ήταν παρά μάθημα επιλογής και όχι υποχρεωτικό. Μάλιστα μπορούσες να καλύψεις την ομάδα στην οποία αντιστοιχούσε με άλλο μάθημα, οπότε ζήσε Μάη μου! Βέβαια την κάλυψα με το άκρως ενδιαφέρον μάθημα της Ιστορίας των Μαθηματικών, αλλά τούτο δεν αλλάζει στο παραμικρό το νόημα της μομφής μου. Ήταν, δηλαδή, δυνατόν (δυνατότητα η οποία γίνηκε βεβαιότητα στο πρόσωπό μου - κι όχι μόνο) πως μπορούσε κανείς να γίνει κάτοχος του πολυπόθητου πτυχίου, δίχως να έχει παρακολουθήσει ούτε μια φορά στα τέσσερα χρόνια καθαρό μάθημα Λογικής. Αν βάλεις και τα χρόνια της ανεργίας, του στρατού και κάτι λευχαιμίες, μέσα σ' όλα, πέρασαν τουλάχιστον 15 χρόνια απ' τη ζωή μου, ως τη στιγμή που μπήκα να διδάξω τι 'ναι η εξίσωση - σ' εκείνη την αγαπημένη πρώτη γυμνασίου με την Όλγα, το Θωμά, τον Τιμόθεο και άλλους, απ' τους οποίους ζητώ ταπεινά συγγνώμη που δε τους θυμάμαι πλέον δίχως υποβοήθηση - μέσα στα οποία ο δρόμος μου δε διασταυρώθηκε ποτέ ξανά με την έννοια του προτασιακού τύπου, ούτε και μ' άλλες ζαρντινιέρες απ' ολάκερο μπαξέ λογικών παραφυάδων. Ελπίζω να έχουν αλλάξει και διορθωθεί πολλά από τότε στη δομή κι οργάνωση της καλής Σχολής μου, καθώς να πω συγκινήθηκα μ' έναν μικρό περίπατο πέρσι το καλοκαίρι στα γνωστά λημέρια και τους διαδρόμους της, όπου εξωτερικά τουλάχιστον δεν έχει μεταβληθεί ΤΙΠΟΤΑ απολύτως (πέραν από ένα πρόχειρο μπογιάτισμα) - μιλάμε για 'δω και 27 χρόνια!!! Ακόμα και μερικοί διδάσκοντες!!! Θα μπορούσε, φυσικά, να ισχυριστεί κανείς πως το Μαθηματικό Πατρών είναι σαν τον καρχαρία: έχει φτάσει σε τέτοιο βαθμό εξελικτικής βελτίωσης και προσαρμογής, ώστε δεν υπάρχουν άλλα περιθώρια, είναι ταυτόχρονα ο κολοφώνας, το επιστέγασμα και η απόδειξη (LOL!).

Που λες Ημερολόγιο, ποιο είναι το ρεζουμέ της ιστορίας; πως είμαι ανεπαρκής εγώ, το εκπαιδευτικό μας σύστημα ή κάτι άλλο; Βασικά γύρευα να καταδείξω πρώτα τον ενθουσιασμό μου, καθώς συνήθως ενθουσιάζομαι όταν μέρος του εαυτού μου απορρίπτεται ως ψευδές ή νόθο, οπότε και δημιουργείται χώρος για να κατοικήσει το θείο (ή αν θες το αληθές) και κατά δεύτερο λόγο την έκπληξή μου πόσο ανεπαρκές είναι το σχολείο (αν όχι εκ φύσεως, τουλάχιστον) αν τα διδάγματά του δεν εκλεπτύνονται (δε χρειάζεται, δηλαδή, απαραίτητα και να επεκτείνονται) στην μετέπειτα πορεία της ζωής. Έτσι κι η θεμελίωση της Προτασιακής Λογικής γίνηκε ονείρου ίσκιος μέσα σε δεκαπέντε χρόνια, γεμάτα παράλληλα προβλήματα, έρωτες, φιλίες, θανάτους και λογιών-λογιών περιπέτειες της ζωής, καθώς η τριτοβάθμια εκπαίδευση θεώρησε εαυτόν οργανική συνέχεια της δευτεροβάθμιας κι απαξίωσε ν' ασχοληθεί ξανά με τα θεμέλια (αν όχι των ίδιων των Mαθηματικών, τουλάχιστον) των ανθρώπων που βρέθηκαν για τέσσερα χρόνια υπό τη αρωγή και σκέπη της.

Α ναι συγγνώμη, το ξέχασα, οι φοιτητές δεν είναι νορμάλ και καθωσπρέπει άνθρωποι, έχουν μονάχα ευθύνες και υποχρεώσεις, δίχως κανείς να λογοδοτεί απέναντι τους. Να στο πω κι αλλιώς για να το καταλάβεις: κανείς δεν αισθάνεται πιο μόνος και αγνοημένος από ένα φοιτητή/τρια, ο οποίος μετά το συναισθηματικό βιασμό που υφίσταται στις πανελλήνιες, τότε που επικρέμονται από πάνω του η Σάρα και η Μάρα (δεν εννοώ μόνο την οικογένεια, μα περισσότερο την ίδια την κοινωνία με τα ΜΜΕ και της ψευδο-διδασκαλική της), ξαφνικά βρίσκεται μετέωρος σε μια γυμνή δυστοπία τύπου Matrix - γυμνή από κάθε σημείο αναφοράς - και μ' ένα ταμπελάκι κρεμασμένο στο λαιμό τύπου «ρεμάλι» κι «ανεπρόκοπος/η». Κι είναι αμαρτία στη διάρκεια ή, έστω, στο πρώτο έτος των σπουδών να μην ξαναδιδάσκονται υποχρεωτικά σε όλη την ουσία και το νόημά τους τόσο η Ευκλείδεια Γεωμετρία και η Μαθηματική Λογική (τα οποία είναι σχεδόν βέβαιο πως έχουν ξεγλιστρίσει ως αέρας κοπανιστός και πορδή τζούφια απ' την εξαετή δευτεροβάθμια εκπαίδευση), όσο και μια συνολική θεώρηση των αμέτρητων μαθηματικών κλάδων και του νοήματός τους. Καθώς τα μαθήματα που πρόκειται να επιλεγούν από τους πολυποίκιλους συνδυασμούς της φοίτησης επαφίονται στην ελεύθερη βούληση του καθενός, τι ποιο τίμιο και ευγενές να υπάρχουν στο πλευρό των φοιτητών, ευθύς εξ αρχής, άνθρωποι με βαθιά γνώση. Άνθρωποι έτοιμοι να ξεδιπλώσουν τη μαγεία κάθε κλάδου, το νόημα και τη σκοπιμότητά του, αντί να προχωρά καθένας μοναχός του, ψηλαφώντας στα τυφλά με μοναδικό παραστάτη την διεκπεραιωτική φτώχεια του οδηγού σπουδών και μερικά ακαθόριστα αισθήματα, σα να ψωνίζει ρούχα. Γιατί είναι ελεύθερος κανείς να επιλέξει ορθά, τότε μονάχα σαν έχει πλήρη γνώση ως προς το περιεχόμενο των επιλογών του. Η γνώση είναι η βάση της ελευθερίας, ούτε η χρεία μα ούτε και το ταπεινό συμφέρον.

Αλλά, κάποια στιγμή, θα επανέλθω σ' αυτή την κριτική, καλό μου Ημερολόγιο, καθώς μου λείπουν οι σπουδές εκείνες που ΔΕΝ έκανα, περισσότερο από αυτές που έκανα. Προς το παρόν, σε χαιρετώ.

Αντιμονοπωλιακός νόμος

Αγαπητό Ημερολόγιο,

ελπίζω να είσαι καλά κι εύχομαι το αυτό και δι ημάς. Σήμερα θα σου μιλήσω γι' αυτή την κακιά συνήθεια που 'χουμε μερικοί αθρώποι (εμού δηλαδή συμπεριλαμβανομένου, καθόσον άθρωπος) να εκμεταλλευόμαστε το κύρος μας (ή δήθεν κύρος) σε κάποιο αγροτεμάχιο του πνεύματος, για να διεκδικούμε κύρος κι απ' τα χωράφια του γείτονα, όπως ακριβώς ο συνδαιτημόνας με το μακρύτερο βραχίονα θαρρεί ότι μπορεί ν' αλωνίζει απρόσκοπτα σ' όλους τους μεζέδες και τα πιάτα. Το μήκος, δηλαδής, της χείρας δεν εξασφαλίζει και το ηθικό της προβάδισμα να 'ούμε! Ετούτη η μονοπωλιακή αλαζονεία χτυπάει τις πόρτες και τον καλύτερων σπιτιώνε κι άμα το ψειρίσουμε, όλοι έχουμε πέσει λιγο-πολύ σ' αυτόν τον εξυπνακίστικο λάκκο. Έτσι και τούτος ο καλός μαθηματικός Αντώνης Κυριακόπουλος, τον οποίο - να μην έχουμε παρεξήγηση, Ημερολόγιο - εκτιμώ όσο λίγους γιατί μ' έμαθε πολλά κι εξακολουθεί να με μαθαίνει κι ας μην τον γνωρίζω διόλου τον άνθρωπο, πέραν δηλαδή απ' τη διαδικτυακή του παρουσία. Τον συμπαθώ, βέβαια, κι επιπλέον γιατί ως συνονοματεπώνυμος καλού φίλου θυμίζει, τελικά, δικό μου άνθρωπο και στο κάτω-κάτω από αυτόν το φίλο άκουσα πρώτη φορά για τον Αντώνη Κυριακόπουλο το Μαθηματικό. Μα τότε δεν είχα δώσει σημασία κι όπως μπήκε τ' όνομα απ' το δεξί τ' αυτί, έκανε γκελ στον κροταφικό λοβό και δραπέτευσε από τ' αριστερό, πάνω σε μια δροσερή πνοή ανέμου ή μπορεί και σ' ένα κορνάρισμα νταλίκας.

Κάποτε ωστόσο, πριν πολύ-πολύ καιρό, έπεσε στα χέρια μου και τούτη εδώ η σύνοψη πάνω στους μαθηματικούς εκφυλισμούς της υπερ-απλουστευτικής διδασκαλίας, η οποία λειτούργησε σα διδακτικός κόλαφος και με ταρακούνησε από τον ύπνο του μαθηματικού δικαίου. Γιατί ύπνος είναι ημερολόγιο να παίρνεις εκεί ένα κωλο-πτυχίο και να θεωρείς τον εαυτό σου Μαθηματικό, μη χέσω. Βέβαια απ' αυτήν την έπαρση, προσωπικά, δεν είχα ποτέ ψωνίσει φανερά, μα υπήρξαν σίγουρα στιγμές που νόμισα - κι εγώ ο αφελής - πως κάτι γνώριζα μες στην αδαημοσύνη μου. Τέλος πάντων, απ' τη συνάντηση ετούτη και μετά ο Κυριακόπουλος ήρθε στη ζωή μου για να μείνει. Δεύτερη φορά, ξανάπεσα πάνω του πριν λίγα χρόνια, χάρη σε τούτη εδώ την εργασία (άλλη «τούτη εδώ» από την προηγούμενη) κι από τότε πια πέφτω όλο και συχνότερα πάνω του, ως μέλος πλέον της ομάδας «Μαθηματικό Εργαστήρι», απ' όπου και πληροφορήθηκα κάποτε για το βιβλίο του «Μαθηματική Λογική» - το οποίο κυκλοφορεί ελεύθερα στο διαδίκτυο - κι είναι ο επόμενος αναγνωστικός μου στόχος.

Η πρόταση μομφής, ωστόσο, και για την οποία ξεκίνησα να γράφω βρίσκεται παραχωμένη σ' εκείνη την πρώτη γνωριμία μας, στις «Μεθόδους Απόδειξης», όπου μέσα σ' όλα κάποια στιγμή ο καλός δάσκαλος έχει πάρει φορά και πιάνει να τσαμπουνά τα παρακάτω:

« Στο σημείο αυτό θα ήθελα να επισημάνω ένα παραλογισμό που τον ακούμε συχνά από την τηλεόραση, το ραδιόφωνο και όχι μόνο. Σε συζητήσεις, μεταξύ σοβαρών κατα τ' άλλα ανθρώπων, θα έχετε ακούσει κάποιος να ισχυρίζεται ότι ισχύει κάτι γενικό, δηλαδή ότι ισχύει μία πρόταση της μορφής: "για κάθε x στο Ω, p(x)". Ένας άλλος να βρίσκει ένα παράδειγμα που δεν ισχύει και ο πρώτος να απαντά: "αυτό είναι μια εξαίρεση που επιβεβαιώνει τον κανόνα!!!". Μεγαλύτερος παραλογισμός δεν υπάρχει, αφού μία εξαίρεση (ένα αντιπαράδειγμα), όπως είδαμε παραπάνω, είναι αρκετή για να αναιρέσει (και όχι να επιβεβαιώσει) ένα υποψήφιο κανόνα (ένα γενικό ισχυρισμό). »

Ε λοιπόν, Ημερολόγιο, νομίζω πως ο κατά τ' άλλα σοβαρός δάσκαλος λέει μπαρούφες κι ότι προτρέχει πολύ βιαστικά σε γενικεύσεις! Και εξηγούμαι αμέσως, παρότι δεν πρόκειται να πω άλλο από τετριμμένες φλυαρίες.

Φαντάζομαι πως ο καλός κύριος Αντώνης γνωρίζει άριστα πως η πραγματικότητα, με όποιον ορισμό κι αν την ορίσεις, απέχει παρασάγγας από την αυστηρά δομημένη μαθηματική λογική, παρότι η τελευταία έχει ως πηγή της την πρώτη. Μα δεν υπάρχει εδώ ούτε παράδοξο, ούτε καν η παραμικρή πρωτοτυπία: η ίδια ακριβώς «αντίφαση» ή «αντιδιαστολή» θεμελίωσε κι εκείνη τη θαυμαστή Γεωμετρία. Άμα δηλαδή ρωτήσεις τον αγαπητό δάσκαλο τι είναι ένα σημείο, πιθανότατα να σου μιλάει ώρες συνεπαρμένος από το μεγαλείο ετούτης της αφαίρεσης, αλλά ουδέποτε θα σταθεί τόσο ανόητος ώστε να σου υποδείξει ένα σημείο στον κόσμο, καθώς γνωρίζει καλύτερα από τον καθένα πως το σημείο ετούτο που 'χει στο κεφάλι του απλά δεν υπάρχει πουθενά παρά μόνον εκεί μέσα. Κανείς λογικός άνθρωπος, ωστόσο, δεν πρόκειται να ισχυριστεί ποτέ πως συνιστούν παραλογισμούς και αντιφάσεις των αξιωμάτων όλες εκείνες οι λιλιπούτειες - ωστόσο μετρήσιμες - «σημειώσεις» των μηχανικών, οι οποίοι μεταμορφώνουν τον κόσμο, παρότι μαθηματικά ατελείς με την αυστηρή έννοια των εννοιών.

Η διάσταση ετούτη μεταξύ φυσικού κόσμου και λογικής αφαίρεσης, προφανώς, δεν είναι άγνωστη στον κυρ-Αντώνη, μα τούτα τα ευτράπελα συμβαίνουν όταν κανείς πιάνει να κηρύττει εξ' άμβωνος και γοητεύται τόσο από τη δύναμη της ίδιας της φωνής του, ώστε παρασύρεται σε ασυναρτησίες και βερμπαλισμούς προκειμένου να κάνει πάταγο στους αφελείς. Ο κυρ-Αντώνης, επίσης, γνωρίζει καλύτερα απ' τον καθένα ότι σημασία δεν έχει μόνο εκείνο που εκφέρεται, αλλά και το πλαίσιο μέσα στο οποίο επιτελείται η εκφορά. Ως εκ τούτου, να ξεκινήσουμε από τα βασικά, δεν υπάρχει καν συμφωνία σε όλους τους χώρους ως προς το τι ακριβώς συνιστά «κανόνα». Άλλος ο γεωμετρικός κανόνας, άλλος ο εκκλησιαστικός κανόνας, άλλος ο γραμματικός κανόνας, άλλος ο κανόνας του σαβουάρ-βιβρ, άλλος ο ενδυματολογικός κανόνας των υπαλλήλων μιας τράπεζας και βάλε τώρα με τη φαντασία σου, να τραβήξουμε τη λίστα ίσαμε του διαόλου τη μάνα. Η λέξη είναι τόσο ελαστική, ώστε μόνο εκ του πονηρού ο καλός δάσκαλος βιάζεται να την εξομοιώσει με τις μαθηματικές προτάσεις, παρότι ουδέποτε στα μαθηματικά έχω συναντήσει αυστηρό ορισμό της λέξης «κανόνας» (μπορεί φυσικά κι από άγνοια), παρά το γεγονός πως έχω συναντήσει διάφορους για το «αξίωμα», το «θεώρημα», την «πρόταση» ή το «πόρισμα».

Λέει ο κυρ-Αντώνης πως «μεγαλύτερος παραλογισμός δεν υπάρχει», λες κι υπάρχει κριτήριο σύγκρισης παραλογισμών κι έβγαλε τούτον μεγαλύτερο. Αλλά υπάρχει κάτι χειρότερο κι απ' τον παραλογισμό κι αυτό 'ναι η ρητορική σοφιστεία: να ξεκινάς μια λογική επιχειρηματολογία δίχως νωρίτερα να έχεις επιμελώς ορίσει τις έννοιες που θα χρησιμοποιήσεις ή να τις ορίζεις λανθασμένα (επίτηδες). Ο πονηρίδης δάσκαλος, προκειμένου να μας οδηγήσει εκεί όπου επιθυμεί αποφεύγει να μας διευκρινήσει πως, όταν ένας «κατά τ' άλλα σοβαρός άνθρωπος» (εκτός κι αν είναι φυσικά Μαθηματικός και παραδίδει στο αμφιθέατρο) ισχυρίζεται ότι ισχύει κάτι γενικό, σε καμία περίπτωση της καθομιλουμένης δεν υπονοεί ότι ισχύει μια πρόταση της μορφής «για κάθε x στο Ω», γιατί αυτό στα φυσικά κι ανθρώπινα είναι μια απροσμέτρητη ανοησία και παραλογισμός, ευθύς εξ αρχής. Για παράδειγμα, ούτε καν ο φυσικός επιστήμονας - άμα τον πιέσεις λίγο - δε λέει «για κάθε σώμα ή άτομο στο Σύμπαν», αλλά για «κάθε σώμα ή άτομο που 'χουμε παρατηρήσει» και σε καμία περίπτωση δεν αποκλείει την (α)πιθανότητα κάποτε να εκπλαγεί. Αυτό το «για κάθε» δηλάδη στον κόσμο τον πραγματικό σημαίνει ορθότερα «σχεδόν για κάθε / μάλλον για κάθε / ίσως για κάθε, μα όχι για κάθε κάθε». Πού να κατέβουμε, δηλαδή, και μερικά σκαλοπάτια χαμηλότερα στο φούρναρη, στο μάστορα, στο δάσκαλο ή στον πολιτικό, όπου χάνει η μάνα το παιδί και το παιδί τη μάνα.

Δε νομίζω να 'ναι πολύ μακριά απ' την αλήθεια - τι νομίζω βέβαια δεν έχει και μεγάλη σημασία - αν ισχυριζόταν κανείς πως υπάρχουν τρεις γενικές κατηγορίες «κανόνων»: πρώτα οι μαθηματικοί και λογικοί κανόνες τους οποίους κατακτούμε με την καθαρή νόηση, αποτελούν αφαιρέσεις της ατελούς κι αμφίσημης πραγματικότητας και είναι απόλυτοι, δεύτερον οι λοιποί επιστημονικοί κανόνες τους οποίους κατακτούμε με την επαγωγή, την παρατήρηση και το πείραμα και οι οποίοι θα μείνουν πάντα ιδανικοί κι ανάξιοι εραστές του Απόλυτου και της Αλήθειας και τέλος οι κανόνες τους οποίους δημιουργεί, καθορίζει κι επιβάλλει ο άνθρωπος στην κοινωνία και τις λοιπές δραστηριότητές του, οι οποίοι είναι συμβατικοί κι «αυθαίρετοι». Υπάρχουν, βεβαίως, κι εκείνοι οι αμέτρητοι «κανόνες» τους οποίους πλάθει η λαϊκή φαντασία μέσα απ' την παράδοση και την καθημερινή εμπειρία της - όπως να πούμε πως όλες οι γυναίκες είναι πόρνες κι όλοι οι άρρενες γουρούνια - αλλά θα τους ενέτασσα περισσότερο στην δεύτερη κατηγορία, δηλαδή εκείνη τη επαγωγής και μάλιστα μιας ασθενούς ή ατελούς εκδοχής της. Οι τελευταίοι όταν δεν είναι κωμικοτραγικοί αλλά πετυχαίνουν να πουν κάτι ουσιαστικό τους ονομάζουμε «λαϊκή σοφία», «θυμοσοφία» ή «διαίσθηση». Αν λοιπόν δε διευκρινίσει κανείς το πλαίσιο μέσα στο οποίο αντιδιαλέγονται οι «κατά τ' άλλα σοβαροί» συνομιλητές, αν είναι δηλαδή μαθηματικό, επιστημονικό ή άλλο, τότε κανείς δε μπορεί να κατανοήσει το πραγματικό νόημα των συμφραζόμενων και η λεπτή ειρωνία της κυριακοπούλειας εξυπνάδας καταρρέει με πάταγο, σα πιατικό στα μπουζούκια.

Αν μάλιστα το καλοσκεφτεί κανείς και θέλει να τραβήξει τη δασκαλίστικη επισήμανση στα όρια της, θα έπρεπε κατά βάθος να κάνει μια έτσι με τη γομολάστιχα και να διαγράψει δια παντός, από λεξικά κι από προσώπου γης, κι αυτή την ίδια τη λέξη, δηλαδή την «εξαίρεση» και τα παράγωγά της. Θα 'πρεπε να εξαφανίσουμε διαπαντός ετούτον τον καλικάντζαρο, το σατανά, ο οποίος διάγει ετερόφωτος και σε σχέση, θυμίζοντάς μας διαρκώς τον παραλογισμό στον οποίο αναφέρεται. Ας διατηρήσουμε, το πολύ-πολύ, τη λέξη μόνο με την ιατρική της έννοια, η οποία από την αρχαιότητα ήδη σημαίνει «αφαίρεση» κι «εξαγωγή» [Μπαμπινιώτης] κι ας καταργήσουμε εκφράσεις όπως «εξαιρετικό παιδί» ή «εξαιρετικό ποίημα» κι ακόμη-ακόμη να μην «εξαιρούνται» πλέον οι κάτοχοι δίκυκλων από το Δακτύλιο. Μ' αν δεχτούμε πως κάποιος ή κάτι ξεχωρίζει, να πούμε εξαιρείται, θα 'πρεπε να δεχτούμε συνάμα πως από κάπου ξεχωρίζει - δεν ξεχωρίζει έτσι, από μόνος του - και σ' αυτό το κάπου να δώσουμε ένα όνομα. Ο Κυριακόπουλος δε θα 'θελε να το πούμε «κανόνα», αλλά ευτυχώς εμείς οι καθημερινοί άνθρωποι έχουμε γραμμένες τις αμπελοφιλοσοφίες του και γνωρίζουμε πολύ καλά και στο πετσί μας πως οι ανθρώπινοι κανόνες δεν είναι από την ίδια πάστα με τους μαθηματικούς και όχι δίχως λόγο.

Εύκολα, βεβαίως, μπορεί  κανείς ν' αντιληφθεί το λόγο: οι κανόνες της λογικής δεν αποφασίζονται, ούτε επιλέγονται, μόνον συλλαμβάνονται, αποσαφηνίζονται και διατυπώνονται. Ως εκ τούτου δε μπορεί κανείς να «παραβεί» τους κανόνες της λογικής - εκτός κι αν είναι συγγραφέας επιστημονικής φαντασίας - όπως ακριβώς δε μπορεί η συνείδηση να αναιρέσει εαυτήν. Η συνείδηση είτε είναι, είτε δεν είναι κι ούτε μπορεί κανείς να ισχυριστεί «δεν είμαι» γιατ' είναι τούτο σαν τις παραδοξολογίες του Κρητός Επιμενίδη. Τους κανόνες, λοιπόν, της λογικής δεν τους δημιουργεί ο άνθρωπος. Ο τελευταίος υπόκειται, όπως είπαμε, μόνο στο χρέος της διατύπωσης. Ωστόσο, όλοι οι άλλοι κανόνες που υπάρχουν είναι ανθρώπινα δημιουργήματα, είτε μιλούμε για το Νόμο της Βαρύτητας, είτε μιλούμε για τον Κ.Ο.Κ.. Κι έτσι ούτε ο πρώτος συνιστά κανόνα με την απόλυτη έννοια, εφόσον κανείς Νόμος δεν αναφέρεται άμεσα στην (ασύλληπτη) καθαυτή φυσική πραγματικότητα παρά μονάχα έμμεσα στην ατελή ανθρώπινη θεώρησή της, ούτε ο δεύτερος συνιστά κανόνα παρά μόνο στο βαθμό υιοθέτησης του από όλους ή επιβολής του σε όλους. Μ' άλλα λόγια, όλοι οι κανόνες πέραν των μαθηματικών συνιστούν προσεγγίσεις και συμβάσεις, παρά τελειότητες και αφαιρέσεις. Δε θα μπω εδώ στη διαδικασία να διυλίσω τις προηγούμενες κοινοτοπίες.

Μα τα πράγματα είναι πολύ απλά, όπως τουλάχιστον εγώ τα καταλαβαίνω κι έχουν ως εξής: η εξαίρεση δεν επιβεβαιώνει κανέναν απολύτως κανόνα, εν είδει δηλαδή απόδειξης της ισχύος του, αλλά περισσότερο ως απόδειξη της ύπαρξής του! Για να συναντούμε μιαν εξαίρεση θα πρέπει απαραίτητα, κάπου τριγύρω, να σεργιανά ένας κανόνας, ο οποίος ασχέτως αν είναι αληθής ή όχι είναι τουλάχιστον διατυπωμένος. Έτσι ο καλός Κυριακόπουλος πέφτει στην ίδια του τη λούμπα λέγοντας πως ένα αντιπαράδειγμα αναιρεί έναν γενικό ισχυρισμό, που πάει να πει πως παραδέχεται ακριβώς αυτό που λέμε: χρειάζεται να υπάρχει κάτι, ένας ισχυρισμός έστω και ψευδής, ώστε ν' αναιρεθεί από την εξαίρεση. Δε μπορούμε δηλαδή να αναιρέσουμε το τίποτα ή το ανύπαρκτο. Ενίοτε πάντως, αν το επιθυμείς Ημερολόγιο, μπορούμε ν' αντικαθιστούμε τη λέξη «κανόνα» με μια ασθενέστερη εκδοχή του, εκείνη της «κανονικότητας», με την ελπίδα ν' αμβλύνουμε τα πάθη και τις αντιθέσεις. Να το δούμε τώρα το πράμα και λίγο πρακτικά. Αν συναντήσουμε κάποιον που ισχυρίζεται πως τα μαύρα πρόβατα αποτελούν εξαίρεση (έστω πως η πληροφορία του είναι έγκυρη), τότε θα πρέπει λογικά να περιμένουμε πως η συντριπτική πλειονότητα των προβάτων έχει άλλο χρώμα - το οποίο πιθανότατα αγνοούμε. Με άλλα λόγια, δεδομένου ενός μαύρου κοπαδιού, θα βρίσκαμε βέβαια παράλογη την ύπαρξη ενός κανόνα ο οποίος θα 'λεγε πως «ΟΛΑ τα πρόβατα είναι άσπρα», αλλά θα μας φαινόταν λογικό να υπάρχει ένας κανόνας που ισχυρίζεται πως «τα περισσότερα πρόβατα είναι άσπρα» - θα έμενε απλά να τον εξετάσουμε. Δηλαδή, όταν η εξαίρεση μας παρουσιάζεται ως τέτοια, συνειδητοποιούμε κάτι σημαντικό, πως δηλαδή αυτό που κρατούμε στα χέρια μας είναι ποιοτικά ή ποσοτικά διαφορετικό απ' τη γενικότητα, την πλειονότητα, την κανονικότητα, το σύνηθες ή όπως θες πες στο, παρότι αυτές οι εκφράσεις δεν είναι αυστηρά και μαθηματικά ορισμένες - εκτός κι αν θέσουμε ένα αυθαίρετο ποσοστιαίο όριο π.χ. 95%.

Τα μαύρα πρόβατα δεν συνιστούν βεβαίως απόδειξη λευκότητας για τα υπόλοιπα πρόβατα, μα ετεροχρωμίας. Ούτε φυσικά αποκλείουν πρόβατα τα οποία μπορεί να 'ναι πράσινα - κι εκείνα κατ' εξαίρεση - αλλά μας προειδοποιούν πως αν είχαμε γνώση του συνόλου των (γνωστών) προβάτων οι πιθανότητες να επιλέξουμε ένα μαύρο θα ήταν οι μικρότερες δυνατές. Η έκφραση «κανονική κατανομή» - καθόλα μαθηματική και τούτη - προσπαθεί να καθυποτάξει αυτήν ακριβώς την απροσδιοριστία, την οποία ο «καθαρός» μαθηματικός Κυριακόπουλος απλώς μποϋκοτάρει, μην τυχόν και λασπώσουμε το γυαλιστερό παρκέ της Λογικής - στο οποίο φυσικά όλοι καθρεφτιζόμαστε. Να το πούμε και μ' άλλα λόγια: τελικά, ΔΕΝ μπορεί να υπάρξει μαθηματικός κανόνας για το χρώμα των προβάτων, αφού δεν υπάρχει ΕΝΑ χρώμα ΟΛΩΝ των προβάτων. Κανένας προτασιακός τύπος γύρω απ' το θέμα δεν έχει ελπίδα να καταλήξει αληθής, αν δεν τον αντιμετωπίσουμε πιθανοκρατικά, αν δεν καταφύγουμε στη στατιστική επιμέλεια των παρατηρήσεων. Φυσικά υπάρχουν κι οι προτάσεις του τύπου «Όλα τα πρόβατα είναι άσπρα ή δεν είναι», που κι αυτή είναι μια μπαρούφα και μισή παρότι λογικότατη, καθώς στην τελική δε μας πληροφορεί το παραμικρό για το χρώμα των προβάτων κι έτσι είναι τόσο λογική, όσο μας είναι απολύτως άχρηστη. Καταλήγουμε έτσι, αν εξαντλήσουμε τη φαντασία μας στους αυστηρούς κανόνες της λογικής και δεν αναζητήσουμε εκλεπτύνσεις και διεξόδους, να μείνουμε στάσιμοι κι εγκλωβισμένοι σε στείρες ταυτολογίες του τύπου «αν ένα πρόβατο δεν είναι άσπρο τότε δεν είναι ένα άσπρο πρόβατο». Οι κανόνες της λογικής δεν εξυπηρετούν τα καθόλα λογικά ερωτήματα του «πότε» και «γιατί» ή άλλα πολύ ενδιαφέροντα και θα μέναμε ισόβιοι δεσμώτες μιας λογικής ακινησίας τύπου Ζήνωνος.

Σε τελική ανάλυση οι συνήθεις έννοιες τις πραγματικότητας, όπως π.χ. το χρώμα, είναι αδύνατον να οριστούν πλήρως και απολύτως, παρά μόνο κατά σύμβαση (ένα συμφωνημένο μήκος κύματος, σε συγκεκριμένες συνθήκες πίεσης, υγρασίας και γωνίας πρόσπτωσης, δηλαδή τρέχα γύρευε). Πώς λοιπόν θα μπορούσε να υπάρξει οποιοδήποτε κανονιστικό πλαίσιο συνεννόησης, αν πιστεύαμε τον Κυριακόπουλο; Αλλά μπορεί τελικά ο τελευταίος να θέλει να πει ακριβώς αυτό: αν δεν μπορεί να υπάρξει κανόνας που να ισχύει «για κάθε» τότε ας μην υπάρξει καθόλου κανόνας. Μα τούτο είναι σα να μην έχει πάρει πρέφα για την ανθρώπινη φύση (ή άλλη) και τις ανάγκες της, η οποία δίχως να επιθυμεί να είναι παράλογη (ερωτηματικό), ωστόσο δεν επιθυμεί και να πάψει να μιλά. Κι ως εκ τούτου αισθάνεται αδήριτη την ανάγκη να ειπωθεί επιτέλους κάτι για το χρώμα των προβάτων ή οποιοδήποτε άλλο χαρακτηριστικό του Κόσμου. Αλλά και για έναν ακόμα λόγο: έως ότου καταφέρει το πνεύμα να συλλάβει τις καθόλου ιδιότητες θα πρέπει, ωστόσο, να εκφέρει κάποιον λόγο, έστω κι ατελή, ως πρόπλασμα για όλα εκείνα για τα οποία επιθυμεί να μιλήσει. Δηλαδή δεν είναι ή όλα ή τίποτα, αλλά μια πορεία κατάκτησης του Λόγου, δια μέσω ακούσιων παραλογισμών. Έως ότου καταλήξει για παράδειγμα η Φυσική σε μια Θεωρία των Πάντων είναι αναγκασμένη, λόγω αδυναμίας, να έχει δομήσει νωρίτερα κι επί αιώνες μια σειρά από ατελείς θεωρήσεις για τα επιμέρους, τα οποία μπορεί να προσεγγίσει ευκολότερα. Μ' άλλα λόγια δεν είναι μόνο η ανάγκη του ανθρώπου να εκφραστεί έστω κι ατελώς, είναι κι η αδυναμία του να εκφραστεί με οποιονδήποτε άλλο τρόπο, έξω δηλαδή από το πλατωνικό πεδίο των μαθηματικών. Ο Κυριακόπουλος λέει πως αν δε μιλούμε μαθηματικά τότε δε μιλούμε και λογικά. Εγώ λέω πως δε χρειάζεται να μιλούμε πάντα λογικά, αλλά αρκεί να μιλούμε με νόημα και το νόημα να είναι κοινό. Και τούτο σε μένα φαίνεται λογικότερο απ' το να μιλά κανείς λογικά, δίχως όμως να γίνεται κατανοητός.

Μην κάνουμε τώρα πως ανοίγουμε και τη Γραμματική του Τριανταφυλλίδη γιατί εκεί θα γελάσει και το παρδαλό κατσίκι. Γι' αυτούς τους κανόνες ωστόσο, τους ανθρώπινους, ο καλός δάσκαλος ποιεί τη νήσσα, έτσι όπως έχει θρονιαστεί στο γρανιτένιο θώκο του «για κάθε». Ας κουβεντιάσουμε εδώ, παρόλα αυτά, για έναν ακόμα λόγο για τον οποίο οι ανθρώπινοι κανόνες δε μπορει να είναι απόλυτοι κι οι εξαιρέσεις είναι αναπόφευκτα γεννήματά τους. Η πραγματικότητα Ημερολόγιο (κι ας παραμείνουμε εδώ στην ανθρώπινη πραγματικότητα, για να μην γράφουμε τρεις ώρες ακόμα) έχει δύο ιδιαίτερα χαρακτηριστικά, τα οποία αδυνατεί να παγιώσει η ανάγκη ή εμμονή για ευταξία: είναι ασύλληπτη και είναι ρευστή. Έτσι κανείς φιλόσοφος, πολιτικός ή νομοθέτης δεν είναι σε θέση να συντάξει έναν γενικευμένο κανόνα ο οποίος να καλύπτει τους πάντες στο τώρα, μα ούτε καν μερικούς στο για πάντα. Πόσο μάλλον τους πάντες και για πάντα! Κατά συνέπεια, ακόμα κι αν καταφέρναμε να ορίσουμε έναν ανέλπιστα πετυχημένο κανόνα για οτιδήποτε, δεν θα υπήρχε πιο σίγουρο πράγμα από τούτο, πως δηλαδή μέσα στον επόμενο μήνα ή χρόνο θα έπρεπε ο κανόνας να αναθεωρηθεί γιατί οι ανάγκες θα είχαν, εν τω μεταξύ, μεταβληθεί απρόβλεπτα και πολυσχιδώς. Εκείνο, ωστόσο, στο οποίο μπορεί να ελπίζει ο άνθρωπος είναι να φτιάχνει όσο το δυνατόν ευρύτερους και δικαιότερους κανόνες, στριμώχνοντας όλες τις περιπτώσεις που απομένουν αναπόφευκτα ακάλυπτες, κάτω απ' την ομπρέλα της τόσο απεχθούς εξαίρεσης. Έτσι δίχως να αίρεται η απαγόρευση προς όλους τους πολίτες π.χ. έναντι του φωτεινού σηματοδότη, η παραβίαση επιτρέπεται κατ' εξαίρεση κι υπό προϋποθέσεις στ' ασθενοφόρα, τα περιπολικά ή την πυροσβεστική. Υπό το πρίσμα ετούτο η εξαίρεση δεν αποτελεί παραβίαση του κανόνα, αλλά πολύτιμη συμπλήρωσή του κι έτσι αντί να τον ακυρώνει νοηματοδοτεί κι επιρρώνει τη σημασία του.

Όλα αυτά μου γίνηκαν πολύ πιο ξεκάθαρα όταν, ανατρέχοντας στο διαδίκτυο, διαπίστωσα τόσο την προέλευση, όσο και την πλήρη διατύπωση ετούτης της σκανδαλόπετρας στην οποία αναφερόμαστε. Έτσι, με βάση τη Βικιπαίδεια, μαθαίνω πως πρόκειται για συντομευμένη εκδοχή της παρακατώ ρήσης του Κικέρωνα: «exceptio probat regulam in casibus non exceptis», η οποία σημαίνει «η εξαίρεση αποδεικνύει τον κανόνα για τις περιπτώσεις εκτός εξαίρεσης» και την οποία είχε εισάγει ο αρχαίος άνδρας ως νομική και όχι ως μαθηματική αρχή. Υπ' αυτή την πληρέστερη διατύπωση κι υπό το πρίσμα την νομικής σκοπιμότητας, γίνεται τώρα φανερό πως το «για κάθε» του Κυριακόπουλου ισχύει απαράλλαχτο και σύμφωνα με τους κανόνες της λογικής για «τις περιπτώσεις εκείνες εκτός εξαίρεσης». Έτσι ώστε κανείς θα μπορούσε να παραδεχτεί ότι μιλούμε για δύο ξεχωριστούς κανόνες, όπου ο ένας είναι η άρνηση του άλλου κι οι οποίοι ισχύουν «για κάθε» αντιπρόσωπο του ιδιαίτερου συνόλου ορισμού τους. Ώστε μπορούμε αυθαίρετα να ονομάσουμε τη μία πρόταση κανόνα και την άλλη εξαίρεση δίχως βλάβη του νοήματος ή της λογικής συνέπειας. Να το πούμε κι ελάχιστα πιο μαθηματικά, αν έστω "α" το αντιπαράδειγμα του Κυριακόπουλου τότε ο κανόνας p(x) μπορεί να «σπάσει» σε δύο: έναν p(x) για κάθε x στο Ω–{α} κι έναν ¬ p(x) για x=α. Υπ' αυτό το πρίσμα, μπορούμε να θεωρήσουμε πως το αντιπαράδειγμα δεν ανήκει στο Ω κι ως εκ τούτου ο p(x) εξακολουθεί να ισχύει για κάθε στοιχείο εντός Ω. Έτσι κάθε ατελής κανόνας μπορεί να γενικευτεί δίχως ιδιαίτερο πρόβλημα, εφόσον «για κάθε στοιχείο του Ω το οποίο δεν έχει εξαιρεθεί ισχύει απαρέγκλιτα η p(x)». Ο καλός δάσκαλος λέει, ορθά, ότι ο κανόνας «όλα τα πρόβατα είναι άσπρα» δε στέκει σα βρούμε και πεντέξι μαύρα. Εκεί που σφάλλει είναι πως κανένας άνθρωπος, σα λέει όλα (τα πρόβατα ή άλλα ζωντανά), δεν εννοεί ποτέ όλα-όλα, μα περισσότερο εννοεί πως «όλα τα πρόβατα εκτός απ' όσα μπορεί να είναι μαύρα (ή άλλο χρώμα) είναι άσπρα». Σα να βλέπω τον Κυριακόπουλο μπροστά μου ν' αφρίζουν τα ρουθούνια του: μα έτσι δεν είναι δυνατόν να συνεννοηθούν ποτέ οι άνθρωποι! Ίσα-ίσα, έτσι ακριβώς είναι που συνεννοούνται οι άνθρωποι εδώ και χιλιετίες και μάλιστα για έναν πολύ απλό λόγο: εκκινούν από διαφορετικό αξιωματικό πλαίσιο απ' ότι ο Κυριακόπουλος ή ο Αριστοτέλης.

Αν είναι κανείς και λίγο σοφιστής θα μπορούσε να ισχυριστεί ακόμη-ακόμη, δίχως πολύ αιδημοσύνη κι εφόσον δε διευκρινίζεται ποιος ακριβώς κανόνας επιβεβαιώνεται απ' την εξαίρεση, πως η εξαίρεση επιβεβαιώνει πανηγυρικά όχι ακριβώς αυτόν τον p(x) αλλά πολύ ευρύτερα τον κανόνα του αποκλειομένου μέσου, δηλαδή πως για κάθε x στο Ω θα είναι είτε p(x), είτε όχι-p(x). Τι θα σήμαινε, λοιπόν, η άρνηση της p(x) αν δεν υπήρχε πρωτίστως η p(x) καθαυτή; Η ύπαρξη της άρνησης προϋποθέτει την ύπαρξη μιας κατάφασης - έτσι δεν είναι; Το πρόβλημα στη νομική πράξη και τ' ανθρώπινα δεν είναι μόνο πως η αρχή του αποκλειομένου μέσου δεν ισχύει πάντα, μα ούτε κι εκείνη η αρχή της μη αντίφασης μένει απόλυτα αεροστεγής και υδατοστεγής. Κι αυτό, γιατί ο κόσμος των προθέσεων είναι κατά βάση αντιφατικός και δεν στριμώχνεται στα λογικά καλούπια. Ο κόσμος δε χωρίζεται ξεκάθαρα π.χ. σε πολίτες νομοταγείς από τη μία και μη-νομοταγείς από την άλλη, ούτε ακόμη και με ταχυδακτυλουργικά μπαλώματα, ώστε η χθεσινοί νομοταγείς να είναι σήμερα παράνομοι και τούμπαλιν κατά το δοκούν (άλλοτε των ατόμων κι άλλοτε της εξουσίας), αλλά για να γίνουν τα πράγματα πολύ χειρότερα οι περισσότεροι πολίτες διάγουν διαρκώς σ' ένα διφυές καθεστώς όπου είναι ταυτόχρονα νομοταγείς και μη, σε κάθε ποικιλία συνδυασμών και βαθμών έκαστος. Κι ετούτο αληθεύει σχεδόν για κάθε δίπολο: καλός-κακός, δυνατός-μαλάκας, ανόητος-ξυπνητός, ατρόμητος-κλασομπανιέρας, ευαίσθητος-ζώο και μισό και πάει λέγοντας.

Μ' άλλα λόγια, Ημερολόγιο, ματαιοπονούν όσοι επιμένουν να εφαρμόζουν την αυστηρή μαθηματική λογική στ' ανθρώπινα, περιμένοντας πως δε θα γίνουν αστείοι οι ίδιοι στην προσπάθειά τους να περιγελάσουν τον απέναντι. Γι' αυτό πρόσεξε φίλε μου, να φοβάσαι πολύ τους ανθρώπους εκείνους που φορούνε πολωμένα ματογυάλια κι επιμένουν να νοηματοδοτούν ολάκερο τον κόσμο υπό το πρίσμα της μύτης τους: οι μαθηματικοί ότι τα πάντα είναι λογική, οι φροϋδιστές ότι τα πάντα είναι τσόντα και οι τσαγκάρηδες ότι τα πάντα είναι το σουγλίν και το σφετλίν και τα σφηκώματά τους. Να τους φοβάσαι όχι γιατί είναι άνθρωποι σκατόψυχοι ή κακοήθεις, μα γιατ' είναι μισότυφλοι κι επικίνδυνοι ακριβώς γι' αυτό! Τέλος πάντων, στην επόμενη (ή σε επόμενη) ανάρτηση θα σου μιλήσω για ένα (μόνο) από τα εκπληκτικά εκείνα που μου δίδαξε ο καλός δάσκαλος Κυριακόπουλος, κάτι για τ' οποίο θα πρέπει να τον ευγνωμονώ ισόβια ως ήσσων Μαθηματικός.