Απολογίας σκέψεις [#03]

Ημερολόγιο,

συνεχίζοντας με ακατασίγαστο ενδιαφέρον την ανάγνωση της Απολογίας του G.H.Hardy, που 'ναι ουσιαστικά ένα ξεδίπλωμα της ανθρώπινης θνητότητας πίσω απ' τη στοχαστική μαθηματική πειθαρχία, κοντοστέκεται κανείς τόσο συχνά και σε τόσα σημεία αναρίθμητα, που θα 'ταν μάταιο να πιάσει να τα θίξει ένα-ένα. Μέσα στα πολλά, διαβάζουμε κάπου και το παρακάτω :

«Είναι αρκετά σύνηθες, για παράδειγμα, για έναν αστρονόμο ή έναν φυσικό να ισχυρισθεί πως βρήκε μια "μαθηματική απόδειξη" ότι το σύμπαν πρέπει να συμπεριφέρεται με έναν ορισμένο τρόπο. Όλοι αυτοί οι ισχυρισμοί, αν ερμηνευθούν κατά λέξη, είναι εντελώς άνευ νοήματος. Δεν είναι δυνατόν να αποδειχθεί με μαθηματικό τρόπο ότι θα συμβεί μια έκλειψη επειδή οι εκλείψεις και τα άλλα φυσικά φαινόμενα δεν αποτελούν μέρος του αφηρημένου κόσμου των Μαθηματικών. Και αυτό, υποθέτω, θα το παραδεχόντουσαν μετά από πίεση όλοι οι αστρονόμοι, ανεξαρτήτως του πόσες εκλείψεις μπορεί να πρόβλεψαν σωστά.»

Ημερολόγιο, θα ήθελα να ξεκαθαρίσω αυτό που μόλις διάβασα, περισσότερο για τον εαυτό μου κι όχι τόσο για να το εξηγήσω σε σένα. Διαισθητικά βέβαια γίνεται άμεσα αντιληπτό, αλλά χρειάζεται ν' άρω κάποιες στενόμυαλες πεισμώσεις. Γιατί, να πούμε, η πετυχημένη πρόβλεψη μιας έκλειψης δε συνιστά μορφή (μαθηματικής) απόδειξης, απ' τη στιγμή που βασίζεται στα μαθηματικά; Κάθε επιτυχής περιγραφή, η οποία ουσιαστικά στηρίζεται στη μέτρηση και την αρίθμηση, δεν είναι μορφή απόδειξης μιας κανονικότητας; Δεν θα μπορούσαμε να κάνουμε διαφορετικά και να τ' ονομάσουμε π.χ. ένδειξη. Δεν πρόκειται για ένα ενδεχόμενο, για μια πιθανότητα δηλαδή να συμβεί τα τάδε ή το δείνα γεγονός αύριο στις τρεις παρά είκοσι ή του χρονου τον Απρίλη. Δεν είναι τίποτα λιγότερο από μια βεβαιότητα. Ο Hardy, βέβαια, μας δίνει την απάντηση ξεκάθαρα : γιατί τα φυσικά φαινόμενα δεν αποτελούν μέρος του αφηρημένου κόσμου των Μαθηματικών. Και θα πρόσθετα : γιατί η φυσική γνώση συσσωρεύεται επαγωγικά και η επαγωγή (όχι η μαθηματική, η άλλη) είναι μια απόδειξη που κλείνει με αποσιωπητικά κι όχι με τελεία και παύλα.

Προκειμένου ν' αντιληφθούμε αν η περιγραφή ενός φυσικού φαινομένου συνιστά απόδειξη για οτιδήποτε, θα πρέπει, καταρχάς και καταρχήν, να διερωτηθούμε τι είναι εκείνο που συνιστά ειδικότερα μαθηματική απόδειξη και τι όχι. Απ' τον Ευκλείδη μάλλον και μετά, οποιαδήποτε πειστική συλλογιστική διαδικασία έχει ανάγκη από ένα στέρεα θεμελιωμένο αξιωματικό σύστημα κι ένα σύνολο λογικών κανόνων, με τη βοήθεια των οποίων ξεκινώντας απ' τις ολιγάριθμες προκείμενες πλουτίζουμε σταδιακά το οικοδόμημα μ' ολοένα και περισσότερες έγκυρες προτάσεις. Η λογική διαδικασία της απόδειξης έχει, δηλαδή, ανάγκη από μια αδιαμφισβήτητη αφετηρία και μια αυστηρά πειθαρχημένη συλλογιστική.

Η πρόβλεψη, για παράδειγμα, μιας έκλειψης δεν ικανοποιεί κανένα από τα δύο προηγούμενα θεμελιακά στοιχεία. Καταρχάς, δεν ξεκινά από αδιαμφισβήτητες αλήθειες παρά από μια σειρά (οσοδήποτε) αυστηρών και λεπτομερών παρατηρήσεων, δηλαδή απ' τα καθόλα αμφισβητήσιμα φαινόμενα και τις αισθήσεις. Στο σκοτεινό (ή φωτεινό) βασίλειο των φαινομένων είναι μεγάλη κουβέντα τι συνιστά αλήθεια, τι ψεύδος και τι τ' ανάμεσό τους. Αλλ' ακόμα κι αν σύμπασα η ανθρωπότητα συμφωνήσει ως προς τα παρατηρούμενα και τις μετρήσεις τους, σε καμία περίπτωση δε θα μπορούσαμε να μιλήσουμε γι' αξιωματικό σύστημα, δηλαδή για ένα μυριάκις διυλισμένο απόσταγμα λογικής αφαίρεσης. Τ' αξιώματα των φυσικών επιστημών όταν δεν αποτελούν επαγωγική συσσώρευση (π.χ. Αρχή διατήρησης της ορμής) δεν είναι παρά κοινά αποδεκτά, λειτουργικά μοντέλα (π.χ. μοντέλο ατόμου του Bohr) υποκείμενα στη φθορά του χρόνου, εξίσου με οτιδήποτε φθαρτό. Θα έπρεπε κανείς να διακατέχεται από περισσό θράσσος προκειμένου να τα χαρακτηρίσει όλα ετούτα ως αλήθειες, με τη φιλοσοφική έννοια. Η κανονικότητα των περισσότερων φαινομένων συνιστά περισσότερο μια τοπική ή χρονική συγκυρία, μια σύμπτωση ή μια εξαίρεση με περιορισμένο βαθμό ισχύος, παρά «νόμο» - ακόμα κι αν ετούτος ο περιορισμός είναι επικών διαστάσεων κι υπονοεί την εφαρμογή του σ' ένα ολάκερο, από τα δυνατά σύμπαντα. Η πρόβλεψη, τελικά, μιας έκλειψης στον πλανήτη Γη δεν έχει την παραμικρή σημασία ή εξουσία στο Γανυμήδη ή τον Άλφα Κενταύρου. Μα και στην ίδια τη Γη μετά από ένα δισεκατομμύριο χρόνια, όταν οι σχετικές θέσεις των σωμάτων θα έχουν αισθητά μεταβληθεί, οι σημερινές "αποδείξεις" δε θα 'ναι παρά γράμμα κενό και αρχαιολογία. Αλλά ακόμη κι αν ισχυρισθεί κανείς πως οι επιμέρους εκλείψεις μεταβάλλονται λιγότερο ή περισσότερο, αλλά η έννοια της Έκλειψης είναι αυστηρά κατοχυρωμένη, είναι αποδεδειγμένα προβλέψιμη σε οποιαδήποτε παραλλαγή της, στη βάση της ουράνιας μηχανικής, εξακολουθεί να μας περιορίζει η εξής πραγματικότητα : όπως και οτιδήποτε στο σύμπαν προκύπτει κατόπιν εορτής από την παρατήρηση και όχι εκ των προτέρων, ως μια αναγκαιότητα η οποία αναβλύζει πηγαία από θεμελιώδεις κανόνες της δημιουργίας - τους οποίους ακόμη γυρεύουμε.

Αλλά πολύ περισσότερο κι απ' την κανονικότητα ή τη συνέπεια των μετρήσεων, η συλλογιστική πορεία της αποκάλυψης του συμπεράσματος - παρά το γεγονός πως στηρίζεται κι αυτή σε αυστηρούς, λογικούς βηματισμούς - δεν έχει την παραμικρή συνέπεια και την εξασφάλιση, τις οποίες προσφέρει η μαθηματική απόδειξη. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβει κανείς την αιτία. Τα παρατηρούμενα δεν υπόκεινται μόνο στη μέτρηση, η οποία μας βρίσκει συνήθως σύμφωνους, μα υπόκεινται εξίσου και στην ερμηνεία. Εδώ είναι ο κόμπος, καθώς τα ίδια δεδομένα, επεξεργασμένα απο τους ίδιους λογικούς κανόνες, οδηγούν συχνά διαφορετικούς ανθρώπους σε διαφορετικά συμπεράσματα, ενίοτε αντικρουόμενα. Ο επιστημονικός αυτός πλουραλισμός δεν έχει να κάνει στο παραμικρό με τη χωροχρονική παγκοσμιότητα, την αιωνιότητα και την καθαρότητα των μαθηματικών επιτευγμάτων. Η βελτίωση της τεχνολογίας ξύνει συνεχώς τις ανοιχτές πληγές της καθεστηκυίας ερμηνείας, γιγαντώνει τα κενά σε χάσματα και τις μικρές αβεβαιότητες σε άλλες κερκόπορτες των επιστημονικών θεωριών. Καμία τεχνολογική εξέλιξη, παρόλα αυτά, δεν απείλησε κι ούτε πρόκειται ν' απειλήσει ποτέ τα βαθιά ριζώματα του Πυθαγορείου θεωρήματος ή της Θεωρίας των αριθμών.

Η μαθηματική απόδειξη δεν είναι απλά μι' απόδειξη στηριζόμενη στα μαθηματικά. Είναι το πλατωνικό ισοδύναμο οποιασδήποτε απόδειξης, είναι η απόδειξη εκείνη στην οποία όλες οι άλλες αποδείξεις επιθυμούν να μοιάσουν. Δεν είναι τίποτε λιγότερο από ζωγραφική στον αργαλειό του χωροχρόνου και γλυπτική του πνεύματος πάνω σε άχρονο γρανίτη, παρά στην άμμο ή το βότσαλο της ιστορίας. Είναι μια χαρτογράφηση των σωθικών του σύμπαντος, ένας διάλογος με τη σκέψη του και - γιατί όχι - με τη σκέψη εκείνη, της οποίας το σύμπαν δεν είναι παρά ένας απλός συνειρμός.